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如何用定积分求球表面积？

面积,计算出,公式如何用定积分求球表面积？

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

如何用定积分求球表面积？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

曲面面积公式：S=∫∫（D)√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 dxdy

if球的半径为a

取上半球的方程z=√a^2-x^2-y^2

它在x0y上的投影区域D=(x,y)x^2+y^2≤a^2

ψz/ψy=-x/√a^2-x^2-y^2

ψz/ψx=-y/√a^2-x^2-y^2

√1+（ψz/ψy)^2+(ψz/ψx)^2 =a/√a^2-x^2-y^2

因为该函数在D上无界,不能直接用面积公式,弦先去一个区域D1=(x,y)x^2+y^2≤b^2 (0＜b＜a)

计算出面积后使b→a,便计算出面积

S1=∫∫（D1)a/√a^2-x^2-y^2 dxdy

用极坐标：

S1=∫∫（D1)a/√a^2-ρ^2 ρdρdθ=a*∫(2π,0)dθ*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2

=2πa*∫(b,0)ρdθ/√a^2-ρ^2

=2πa(a-√a^2-b^2)

当b→a

求得S=2πa^2

这是半个球的面积

S球=4πa^2