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高中数学泰勒展开式如何应用？

泰勒,交点,级数高中数学泰勒展开式如何应用？

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

高中数学泰勒展开式如何应用？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

超模君先说一下泰勒公式怎么来的，再简单讲讲它的现实应用。

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泰勒公式

根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶：

假设f1(x)=f(x)-f(a)

由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2

所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2

同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)


两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C,C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3

依次类推，最后就有了泰勒公式。




另一种证明过程，先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。





泰勒级数展开函数，能做什么？

对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少。计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。




在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而QuakeIII的源代码中就对于此类的计算做了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。





对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。





泰勒技术用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。

回答于 2019-09-11 08:43:50

别说高中了。大学理工科里都有一大把人不会展开。在编程方面比如Python必须掌握。