您现在的位置: 首页 > 网站导航收录 > 百科知识百科知识

为什么微分方程要写成这种形式？这种形式有什么意义？

向量,函数,方程为什么微分方程要写成这种形式？这种形式有什么意义？

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

为什么微分方程要写成这种形式？这种形式有什么意义？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

谢邀。

要不是我学过一点量子力学，还真看不出这有什么意义。

想了解量子力学（是真正的量子力学，不是营销号的胡扯）的朋友也可以看一看这篇文章。

刚上大学的学生也可以看一看这篇文章，这对你理解《高等数学》和《线性代数》也有帮助。

本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。

不过，我希望你不跳过任何内容。

这是本征方程

不知道什么是本征方程？

没关系，你只需要记住：

具体看一下题目中的方程是怎么体现这一点的：

这可以引出两个听起来有些高大上的概念：

本征值

本征函数

一顿操作猛如虎，结果就是乘个数。

操作是对本征函数的操作，也可以说操作对象是本征函数，也是用本征函数去乘常数。乘的这个常数，就是本征值。

说得正经一点，本征方程就是对某个函数做一个操作之后等于这个函数乘一个常数。

这和量子力学有什么关系？

薛定谔：量子力学是本征值问题。

本征值问题，听起来也有些高大上，其实就是已知一个本征方程，求这个本征方程的本征值和本征函数。

（已知一个“猛如虎”的操作，求满足“一顿操作猛如虎，结果就是乘个数。”的常数和操作对象。）

在量子力学中，这个已知的本征方程就是定态薛定谔方程，需要求的本征值就是原子核外电子的能量，需要求的本征函数就是电子的波函数。

这个“猛如虎”的操作就是哈密顿算符。

（如果你想具体了解上面提到的定态薛定谔方程、波函数、哈密顿算符，可以读一读笔者写的“如何理解薛定谔方程？”，评论区里会附上链接。）

上面的内容已经有一点“真正的量子力学”的样子了，不过只知道“量子力学是本征值问题”还不够，主要是因为对波函数的理解还不够。

（准确地说，不只是对波函数的理解还不够，更是对函数的理解还不够。）

要知道，量子力学的数学基础是希尔伯特空间，波函数是希尔伯特空间里的向量。

暂且不要管希尔伯特空间是何方神圣，此时的你只需要知道：

函数就是向量

如果你觉得这是在胡说八道，或者你完全不知道上面这种说法从何而来，那么你需要了解一下线性代数了。

来自线性代数的“巧合”

（线性代数的门槛并不高，能解决“鸡兔同笼”问题，就已经可以学习线性代数了。）

学过线性代数的朋友可能会发现：

上面的本征方程和线性代数里的特征方程很像。

如果你不了解线性代数也没关系，你只需要知道线性代数中常见的向量是一组数，矩阵表示对向量的操作。

线性代数里的特征方程也是：

只不过这里的操作是对特征向量的操作，也是用特征向量去乘常数。乘的这个常数，就是特征值。“猛如虎”的操作就是矩阵。

其实它们不是很像，它们根本就是一回事！

（“本征”和“特征”这两个词是可以互换的。）

本征方程和特征方程是一回事，本征值和特征值也是一回事，同样的，本征函数和特征向量也是一回事！

函数就是向量

真正的精彩内容才刚刚开始，我相信你可以从下面的小标题中看出端倪。

线性空间：函数与向量的统一

这也是一个听起来有些高大上的概念，而且它真的很高大上。

不过，此时的你只需要知道线性空间就是一个集合，这个集合中的元素可以进行2种运算，并且这2种运算满足8条运算定律。

（至于具体是哪2种运算和哪8条运算定律，请向下翻。）

线性空间中的元素被称为向量。

注意，这里的向量可不单指有大小和方向的量，只要满足线性空间的8条运算定律，那就是向量。

函数正好就满足那8条运算定律，所以才说：

函数就是向量

如果你想亲自验证一下函数是否真的满足那8条运算定律，请参考下图：

（乍一看好像很复杂，其实你依次看过去就会发现它们都很简单。）

上面经常提到的“猛如虎”的操作，其实也有个高大上的名字：线性变换，也就是对线性空间中的向量做的操作。

量子力学中的希尔伯特空间也是在线性空间的基础上演变而来的，所以希尔伯特空间里的向量也不是简单的有大小和方向的量。

但愿此时的你看到“波函数是希尔伯特空间里的向量”的时候不会再觉得莫名其妙。

最后

函数是微积分的主角，向量是线性代数的主角，而线性空间统一了函数和向量。

笔者想把丘成桐先生的一句话送给各位读者：

要学好微积分和线性代数，归根结底，一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。