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有没有哪个函数的存在，可以推翻一些看似正确的数学结论？

函数,拉斯,尔斯有没有哪个函数的存在，可以推翻一些看似正确的数学结论？

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

有没有哪个函数的存在，可以推翻一些看似正确的数学结论？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

先说一个命题，开启上述问题的回答。

高等数学中有一个重要命题：函数若在某点可导，则必在该点连续，反之不然。

这个命题，揭示了连续与可导的关系，即连续是可导的必要条件，但不充分。

生活中遇到大多数的函数，都具有很好的可导性，或者说，光滑性，因而也具有了连续性。也可以举出例子，函数虽然连续但不可导，譬如绝对值函数。当然，函数简单的间断，肯定破坏了可导性，这一点，容易想清楚，容易想明白。但是，有没有这样的函数，它处处连续，但处处不可导？学者自然会提出这样的问题？很有意思，也很敏锐，思考深刻而独到。

这个问题太难，颇具挑战，难到一批大神！

这个时候，一个大神出现了，他就是魏尔斯特拉斯。

魏尔斯特拉斯，德国数学家

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯(1815.10.31-1897.2.19)，

德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他引进了一致收敛的概念，并由此阐明了函数项级数的逐项微分和逐项积分定理。在建立分析基础的过程中，引进了实数轴和n维欧氏空间中一系列的拓扑概念，并将黎曼积分推广到在一个可数集上的不连续函数之上。

1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。

Weierstrass于1872年利用函数项级数继波尔察诺之后构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结（公式如下）

Weierstrass函数

魏尔斯特拉斯函数的图形

希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。

Weierstrass的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。

嘿嘿，你看到了，一个神奇的函数，颠覆了人们对连续与间断的认识！

回答于 2019-09-11 08:43:50

数学并非天衣无缝。自相矛盾也是存在的。相反的命题都可以共存。这就现代数学，怎么样？