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自然数包括什么(为什么自然数是0、1、2、3……这些，能不能有别的？)

小猫,公理,好奇自然数包括什么(为什么自然数是0、1、2、3……这些，能不能有别的？)

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

所以二阶算数比一阶算术更加强大，就哪些可以从前提推导出来来说？

解答者：

能够谈论较少可能的模型这个能力必然得出那一点。正像已经写到的，“关于某个苹果是真的事情对于另一个苹果不一定是真的；所以，关于单个苹果可说的东西多于关于这个世界上所有的苹果可以说的东西。”如果你能够把你的论域限制到一个更狭窄的模型的类上，那就存在更多的可以必然推导出的事实，因为你谈论的模型越大，关于它们都真的事实越少。另外二阶算数比一阶算术证明了更多的定理，它也确实是真的——比如，它能够证明一个能计算古德斯坦序列的图灵机总是到达0并停机，赫拉克勒斯总是赢得九头蛇游戏。不过呢，如果这样就一般地来说二阶逻辑是否事实上比一阶逻辑更加强大，会遇到一点争议。

好奇宝宝：

好吧。毕竟，仅仅因为没有人曾经发明一个一阶公式来去除掉所有的非标准数，并不意味着它永远不可能。未来一些聪明的数学家也许可以找到一个方式使得，对于任一个数x，使用加法、乘法、关于其它单个的数是否存在这些来对它仅作局部的事情，这个方法可以告诉我们那个数是在0-链上，亦或在某个双向无穷的链上。它将简单得就像：

(a=b*c)

解答者：

不。那不会发生。

好奇宝宝：

不过，也许，你能否找到一些完全不同的创新的方式，只用一阶公理得到全部都是标准自然数的模型。

解答者：

不可能。

好奇宝宝：

嗯...你是如何准确地知道那一点的？我的意思是，当你参加一个比赛，作为比赛选手的一条原则就是当某事看起来不可能的时候，你不要放弃。我不能明白如何使用一阶公式来检查无穷的链。不过，先前我不能认为你可以去除有限圈，一旦你讲解了，它就显得非常简单。毕竟，关于‘不可能’这个词存在两种不同的用法，一种直接用已有知识表明了某事不能实现，也就是说哪怕你是一个超级智能体，也不可能找一种做法来达成这个目标。这种情况，你需要利用已知知识给出一个确定、完整的结果，从而你可以否定每一个可能的成功途径。还有另外一种，‘不可能’一词更加通常的用法：你思考了五秒钟没有发现实现它的方法，然后就说”不可能“。一般在对知识了解有限，那个问题又看起来有些神秘主义倾向会这样。

解答者：

是的。使用一阶公式来去除掉双向无穷链，是第一种类型的不可能。我们知道它永远不可能实现。

好奇宝宝：

嗯，我知道。好吧，你有什么观点，如何说明你的观点？能用你明确的知识正面回答为什么‘不可能’吗？别用这种神秘兮兮的方式强行灌输？

解答者：

下一次，下一次我们再来好好讲讲。

译者注：

[1]非直谓的(impredicative)

[2]原文universe既可以翻译为宇宙，也可以在某些情况下翻译为“论域”。有些情况下，难以抉择，或者本身就是双关。请读者自己记住这一点。

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本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。

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