您现在的位置: 首页 > 网站导航收录 > 百科知识百科知识

自然数包括什么(为什么自然数是0、1、2、3……这些，能不能有别的？)

小猫,公理,好奇自然数包括什么(为什么自然数是0、1、2、3……这些，能不能有别的？)

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

原文作者：Eliezer Yudkowsky，AI专家。

翻译作者，风无名，哆嗒数学网翻译组成员。

校对：Math001

关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文

解答者：

噢！你好！又回来啦？

好奇宝宝：

是的，我又有新问题了。之前你说你不得不使用二阶逻辑来定义自然数。不过，我非常确信我听说过叫做“一阶皮亚诺算术”的东西，据说它定义了自然数。从名字上说，它不应该含有任何“二阶”公理。坦白地说，我觉得我对这个二阶的东西还是一点感觉都没有。

解答者：

好吧，让我们通过考察如下的模型来开始：

这个模型拥有那三个我们希望对于标准自然数都满足的性质“每一个数都有一个后继”， ”如果两个数拥有一样的后继，则相等”，”0是那个唯一的不是其它数的后继的数。”。在这个模型中，所有这些陈述都是真的，所以从那个意义上，它的确和自然数差不多

显然这个模型不是我们正在寻找的自然数，因为它拥有多余的一些神秘的数，像C， 2*。像C那样的东西甚至是一个圈，我当然不希望任何自然数会这样。而且，还存在双向无穷的不能收拢到任何其它的东西的一条链。

是的，这就是一阶逻辑与二阶逻辑的区别：在一阶逻辑中，我们可以去除那些ABC——做一个陈述句，它可以排除掉任何拥有像那样的圈的模型。但是我们不能去除掉下面的无穷的链。在二阶逻辑中，我们可以去掉多那个多余的链。

好奇宝宝：

你能解释一下你刚刚说的吗，虽然眼下我还不知道二阶逻辑是什么。

解答者：

再等我一下。首先，细想下面这个检验“二性质”的公式：

x 2 = x * 2

好奇宝宝：

换句话说，当x等于2的时候，这个公式是真的，其它任何地方它是假的，所以它单独挑选出2 ？

解答者：

正是。下面这个是一个检查奇数的公式：

∃y: x=(2*y) 1

好奇宝宝：

嗯，OK.这个公式在说，“存在一个y，使得x等于2乘以y加上1”。当x是1的时候，那是真的，因为0是一个数，而且1=(2*0) 1.当x是9的时候，那是真的，因为存在一个数4，使得(2*4) 1...正确的。只要x取奇数那个公式就是真的，而且只对x取奇数时是真的。

解答者：

非常正确。现在假定我们有一个办法来检查在一个模型中ABC-圈的存在——在ABC-圈都是真的其它地方都是假的的公式。然后，我可以改造一下这个公式，得到它的否定形式，即“任何像这样的对象都不允许存在“，增加它，使它与“每一个数都有一个后继“这些一起作为自然数的公理。

好奇宝宝：

嗯，我可以通过表述¬∃x:(x=A)来去除ABC-圈吗？

解答者：

嗯，只有你已经首先告诉了我A是什么才可以那么说，而且在一个去除了所有带有圈的模型的逻辑中，你不能指定某个特定的不存在的对象。

好奇宝宝

这样啊。OK...所以那些去除后继的圈的思路是...嗯。在0，1，2，3这些数中，0不是任何数的后继。如果我有一组次从1开始的数，比如{1,2,3 ...}, 在这个组中，1不是任何数的后继。在A，B，C，数A是数C的后继，数C是数B的后继，数B是数A的后继，如果我说”不存在数的组G，使得对于G中的任何数x，它是G中另外一个数y的后继。“

解答者：

啊！非常聪明。不过，你刚才就在使用二阶逻辑，因为你谈论了实体的组或类，一阶逻辑仅仅谈论单个的实体。假定我们有一个谈论小猫以及他们是否是讨人厌的逻辑。这是一个恰好含有三个不同的都是讨人厌的小猫的论域的模型：

好奇宝宝：

嗯，那些“属性”(图中的“propery”)是什么？

解答者：

它们是小猫的所有可能的类。它们被称为属性，因为小猫的每一个类都对应了那类小猫具有的、其他类小猫不具有的属性。比如右上角的那个只含有灰色小猫的类，就对应了一个在灰色小猫为真而在其它地方为假的某个陈述，也对应了一个只有灰色小猫具有、其它小猫不具有的属性。事实上，从现在开始我们认为一个“属性”仅仅说了一个“类”

好奇宝宝：

好，我理解了“小猫的类”这个概念了。

解答者：

在一阶逻辑中，我们可以谈论单个的猫，它与其它单个猫的关系，符合某个特殊关系的猫是否存在。在二阶逻辑中，我们可以谈论猫的类，以及某些类是否存在。所以，在一阶逻辑中，我能说，“存在一只不讨人厌的猫”或者“对于任意一只猫，它都是不讨人厌的”或者“对于任意一只猫，存在另外一只猫它喜欢第一只猫”。不过，需要二阶逻辑才形成关于“猫的类”的叙述句，比如“不存在一个猫的类，使得该类中的每一个猫都被该类中的另一只猫所喜欢”

好奇宝宝：

我懂了。所以，当我想说你不能拥有任何数的组，使得这个组中的任一个数都是这个组中的其它某个数的后继...

解答者：

……你对数的类是否存在进行了量化描述，这意味着你在使用二阶逻辑。不过，就这个情形来说，仅使用一阶逻辑来去除ABC-圈，也是容易的，可能的。考察这个公式：

x=SSSx

好奇宝宝：

x 加3与它自己相等？

解答者：

对的。这是一个一阶公式，因为它没有谈论类。在0，1，2，3...这个公式是假的，不过在A,B,C它是真的。

好奇宝宝：

图中的那个加号“ ”是什么意思？

解答者：

嗯，我试图使用加号“ ”来说“这公式是真的”，类似的， 假定“¬”的意思是那个公式是假的。一个普通的想法是，我们现在有一个公式来检查3-圈，把它们与像0，1，2这样的标准数区分开来。

好奇宝宝：

我明白了。所以，通过添加¬∃x:x=SSSx作为一条新的公理，所有含有A,B,C或者任何其它的非标准数的3-圈的模型，我们就可以都去除了。

解答者：

是的。

好奇宝宝：

不过，这样向自然数的基础理论添加一条公理，好像过于随意。我的意思是，我从来没有看到过这样描述自然数的尝试：把“没有一个数等于它自己加3”作为一个基本的前提。看起来它应该是一条定理，而不是公理。

解答者：

那是因为它是通过引入一个更加一般的的规则来引入的。具体来说，一阶算术有一个无穷公理模式——一个无穷但是可计算的公理模式。这个模式的每一条公理说了，对于一个一阶公式Φ(x)：

1. 如果Φ在0是真的，即Φ(0)

2. 只要Φ在一个数时为真，则在这个数的后继也为真，即∀x: Φ(x)→Φ(Sx)

3. 那么，Φ在所有数都是真的: ∀n: Φ(n)，即

(Φ(0) ∧ (∀x: Φ(x) → Φ(Sx))) → (∀n: Φ(n))

换句话说，对于每一个公式，它在0时真的，它在每一个使它为真的下一个数都是真的，那么它在任何一个数都是真的。这就是一阶算术的归纳模式。作为一个特例，我们有这个归纳公理:

(0≠SSS0 ∧ (∀x: (x≠SSSx) → (Sx≠SSSSx)) → (∀n: n≠SSSn)

好奇宝宝:

不过那并没有说对于所有的n， n≠n 3。它给出了一些前提条件，然后根据这些前提能可以得出最后那个结论，但是我并不知道那些前提条件在哪里。

 1/4    1 2 3 4 下一页 尾页