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正十七边形高斯画法步骤图(高斯正十七边形画法原理)

顶点,垂直线,根号正十七边形高斯画法步骤图(高斯正十七边形画法原理)

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

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高斯是怎样画出圆内正十七边形的

步骤一：给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，在OB上作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。步骤三：过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，P4为第四顶点，P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。备注一一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说，只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。（除非我们再发现另一个费马质数。）备注二黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。备注三正十七边形的尺规作图存在之证明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经计算知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4解之可有:(您自己解解吧~~~~)最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出。

高斯尺规做图正十七边形方法

给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，

作C点使OC＝1/4OB，

作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，

作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，

再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

过G4作OA垂直线交圆O于P4，

过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

连接P4P6，以1/2P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

参考资料：

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