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向量组等价(向量组等价秩相等吗)

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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

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为什么向量组等价，他们的也秩相等?

在代数中，因为如果两个向量组等价，则他们有相对的秩。

而向量组的秩就是和他对应的矩阵的秩。

所以两个向量组等价时他们对应矩阵的秩相等。

向量组等价，是向量组可以相互线性表示。与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件。显然，两个向量组的秩相同，是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件。

而两个矩阵等价，只能推出这两个向量组的秩相同，是两个向量组最大无关组可以相互线性表示的必要条件。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：β1，β2，…βn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B）。

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）

或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

向量组等价和矩阵等价有什么不同

矩阵等价的前提是同型，同型时,等价的充要条件是秩相同。它是在同型的条件下考虑的

向量组等价的充要条件是R(A)=R(A,B)=R(B)。

1.等价向量组：

等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

2.等价矩阵：

矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。

如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。

如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

百度百科-等价矩阵

百度百科-等价向量组

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。