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零点定理的证明(零点定理的证明题)

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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

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零点定理是什么

希尔伯特零点定理（Hilbert'sNullstellensatz）是古典代数几何的基石,它给出了域k上的n维仿射空间中的代数集与域k上的n元多项式环的根理想的一一对应关系,。

此外,它的一个较弱版本给出了仿射空间中的点与多项式环的极大理想之间的一一对应关系,由此建立了代数和几何之间的联系,使得人们可以用交换代数的手段研究几何问题。

函数零点定理的应用技巧

判断函数零点个数的方法

a、直接法：令f(x)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点。

b、利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点。

c、图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)=0h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和y=g(x)的图象的交点个数。

参考资料来源：

百度百科—希尔伯特零点定理

如何证明零点定理?

证明：不妨设

f(b)>0，令

E={x|f(x)≤0，x∈[a,b]}。

由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a、b]，

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a、b)），事实上，

(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a、b)，由函数连续的局部保号性知

存在δ>0，对x1∈(ξ,ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE，

这与supE为E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a,b]，仍由函数连续的局部保号性知

存在δ>0，对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,

这又与supE为E的最小上界矛盾。

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

用罗尔定理证明中值等式的思路与步骤

在确定使用罗尔定理来证明中值等式时，可考虑如下基本思路与步骤：

(1)变换预证等式：化简、移项，将等式所有项移动到左侧，使得右侧等于0，即具有G(ξ)=0的形式.

(2)构造辅助函数F(x)：将等式中的中值符号，如ξ，替换为变量x，将其转换为函数G(x)在中值的函数值，然后计算、构造该函数的一个原函数F(x)(即导数为G(x)的函数).在原函数F(x)无法直接计算得到的情况下。

可以考虑引入不增加导函数G(x)零点的辅助函数h(x)乘以G(x)来构造原函数F(x)，即问题转换为寻找G(x)h(x)的原函数F(x).常用的辅助函数h(x)有自然常数为底的指数函数ex，不包含原点区间的幂函数xn等，使得F’(x)=G(x)或者F’(x)=G(x)h(x)。

参考资料来源：

百度百科-零点定理

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。