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狄利克雷判别法 反常积分的狄利克雷判别法

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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

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前面所说的定积分其积分区间是个有限闭区间[a,b]，且假定被积函数f(x)在此区间上有界。此类积分也称正常积分。

现在将积分区间的端点a或b拓广到无穷大，或将被积函数的有界条件放宽，此类积分被命名为反常积分。其实，所谓的反常积分仅是在正常积分的基础上将区间端点作为变量取其极限，若收敛则此极限就是反常积分。可见，反常积分就是正常积分的极限。下面给出反常积分的定义

定义1：

设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且在任意闭区间[a,X]上可积。若极限

lim[X→+∞] ∫[a,X] f(x)dx

存在，则将此极限称为函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分，表示为

∫[a,+∞] f(x) dx

即

∫[a,+∞] f(x) dx = lim[X→+∞] ∫[a,X] f(x)dx

同样在区间(-∞,b]上可定义

∫[-∞,b] f(x) dx = lim[X→-∞] ∫[X,b] f(x)dx

定义2：

设函数f(x)在x=b点的左领域（即(b-δ,b]）无界，若对于任意η∈(0,b-a)，f(x)在区间[a,b-η]上有界可积，且极限

lim[η→0+] ∫[a,b-η] f(x)dx

存在，则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分，即

∫[a,b] f(x)dx = lim[η→0+] ∫[a,b-η] f(x)dx

同样也有类似定义

∫[a,b] f(x)dx = lim[η→0+] ∫[a+η,b] f(x)dx

其中f(x)在x=a点的右领域（即[a,a+δ)）无界。

定义3：

如果同时考虑积分区间的两端极限（无穷或函数无界点），即

lim[X→+∞]∫[-X,X] f(x)dx

或

lim[η→0+] ∫[a+η,b-η] f(x)dx

其中f(x)在a的右领域和b的左领域内无界

或

lim[η→0+] (∫[a,b-η] f(x)dx + ∫[b+η,c] f(x)dx)

其中f(x)在b的领域内无界。

如果收敛，则称相应的反常积分在主值意义下存在。表示为

lim[X→+∞]∫[-X,X] f(x)dx = V.P.∫[-∞,∞] f(x)dx

lim[η→0+] ∫[a+η,b-η] f(x)dx = V.P.∫[a,b] f(x)dx

lim[η→0+] (∫[a,b-η] f(x)dx + ∫[b+η,c] f(x)dx) = V.P.∫[a,b] f(x)dx

反常积分的某些质和收敛判别法：

1）柯西收敛原理

2）比较判别法

3）柯西判别法

4）阿贝尔判别法

5）狄利克雷判别法

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。