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克罗内克积(克罗内克积的质)

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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

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作者：张奠宙

来源：科学源流

1900年，在巴黎举行的国际数学家大会上，德国数学大师希尔伯特在讲演的开始就说，“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不兴奋呢？”接着，他提出了20 世纪需要解决的23个数学问题。现在，20世纪即将过去，百年来数学面纱一层层被揭开。自然科学尤其是物理学的推动，以及电子计算机的出现，改变了人类社会的生活方式，也改变了数学本身。数学技术渗入到各行各业。希尔伯特问题多半已经有了结果。今天，数学家们又在为21世纪的数学问题进行构想。数学科学仍将一日千里地发展，在探索自然奥秘和推动社会发展中做出贡献。

一、 20世纪数学的开端（1900--1918）：庞加莱和希尔伯特

本世纪之初，法国的庞加莱是无可争辩的数学领袖。他在三体问题、微分方程的定理论、拓扑学等领域做了大量的原创工作，成为开掘不尽的数学宝藏。如果说庞加莱主要以自然科学的实践背景为数学研究的源泉，那么，希尔伯特则更多地从数学本身的完善上寻求进步。他的著名工作有“数论报告” 、“几何基础”、“抽象积分方程与抽象空间“。希尔伯特倡导的形式主义学派，成为20世纪的主导数学哲学。

图1 希尔伯特

这一时期最重要的数学事件，是爱因斯坦的相对论把新时代的几何学推到了科学的最前沿。四维时空的狭义相对论，产生了闵可夫斯基空间几何。弯曲时空的广义相对论，使得张量分析、黎曼几何、高维几何成为物理学革命的工具。我们生存的宇宙空间，可以用黎曼(G. F. B. Riemann, 1826--1866）在1854年创立的高维流形和曲率理论来描述。人们不禁惊叹造化之工，数学之巧。

与物理学推动数学发展的同时，纯粹数学也在以惊人的方式大步前进。19世纪初法国傅里叶（J.-B.-J.Fourier, 1768--1830）提出的调和分析，是众多数学分支的出发点。德国的康托尔(G.F.P.Cantor, 1845--1918）从研究傅里叶级数的唯一提出“点集”的概念，以后发展为“集合论”，成为所有抽象数学的表述工具。法国的勒贝格（H.L.Lebesgue, 1875--1941） 创立了建立在可列可加测度上的积分理论，使得许多黎曼意义下不可积的函数也可以进行傅里叶展开，实现了一次积分革命。康托尔和勒贝格建立的数学理论，常常涉及一些没有导数的病态函数，没有切线的奇异曲线，以及看上去千疮百孔的怪异集合。当时的数学家难以想象勒贝格积分竟会成为20世纪工程师手中的工具。

图2 康托尔

特别在康托尔的集合论中，关于无限集合的超限数理论很难使人接受。一个典型论断是，正方形一边上的点和对角线上的点一样多！康托尔本人也陷入了自己提出的一个悖论，“ 由一切基数构成的集合S，其基数将大于S中的所有基数”。这使康托尔日夜难寐。当时德国数学界的当权人物克罗内克(L.Kronecker,1823--1891）曾对康托尔的无限观进行猛烈抨击，反对康托尔进入柏林大学。康托尔于1884 年起患精神分裂症，病情时好时坏，1918 年病逝于哈雷精神病研究所内。希尔伯特是康托尔数学业绩的积极支持者。他曾说：“没有人能把我们从康托尔所创造的天国中赶走！”

图3 罗素

1903年，英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素（B.Russell，1872--1970）在研究集合论时发现了一个十分简单的悖论：

这触发了数学基础的大论战，世称“第三次数学危机” 。为避免罗素悖论，罗素提倡“逻辑主义”，认为数学即逻辑，只要数理逻辑没有矛盾，数学就不会有矛盾，而且是永远绝对正确。希尔伯特则提出“形式主义”，认为数学研究的对象，可以不必考虑实际意义，无非是一些对象按一套公理作形式演绎的结果。只要公理无矛盾、独立、完备，数学就永远绝对正确。直觉主义则采取保守态度，不承认“自然数全体所成的集合”，反对使用排中律，主张“数学对象的存在，必须能够构造”，因而把数学限制在很小的范围内。逻辑主义想把数学化归为逻辑的愿望未能实现，但留下了数理逻辑这门重要学科。希尔伯特的形式主义后来被奥地利数学家哥德尔（K. Gödel，1906--1978）的两个不完备定理所否定，寻求数学绝对严格基础的理想随之破灭。但是，形式主义的思想为后来的布尔巴基学派所继承和发展，对20世纪数学观念的影响极为深刻。直觉主义的思想过于保守，束缚了数学家的手脚，也没有得到广泛承认。只有“构造主义”的想法，随着电子计算机的出现，获得了新的生命力。

本世纪初，英国的分析学派非常强大。哈代(G.H.Hardy，1877--1947)和李特尔伍德（J.E.Littlewood，1885--1977）是领袖人物。他们在解析数论、单复分析、不等式、级数等“硬”分析领域中有很高建树。哈代发现并培养了印度传奇数学家拉马努詹(S.A.Ramanujan，1887--1920) 。拉马努詹未受正规教育，在不知道什么是现代意义下的严格证明的前提下， 完成了大量的数学工作。拉马努詹的笔记本上写满了大量公式，并没有详细证明。60多年之后，美国的伯恩特（B.C. Berndt)把拉马努詹笔记本加以整理，完成证明，分三册出版。该书的研究表明，除少量公式有误之外，绝大部分是正确的。拉马努詹是如何进行数学思考的？这一数学之“谜”，仍有待解开。

图4 拉马努詹

经典的数学应用工作仍在深入进行。力学、电学、光学、以及机械工程、建筑工程中的数学问题被大量研究。引人瞩目的工作是数理统计学以“生物统计学”的形式开始出现。标准差、平均差、相关等术语，在1901年皮尔逊（K.Pearson,1857--1936）创办的《生物计量学》（）等杂志上陆续使用。

二、 冷战时期的数学争雄（1945-1980）

第二次世界大战结束之后，美国和前苏联分别代表西方和东方国家集团的霸主，进入了长达几十年的冷战时期。从数学上看，战后的几十年，也是两国争雄的局面。普林斯顿高等研究院和莫斯科大学始终是世界两大数学中心。

图5 普林斯顿高等研究院

图6 莫斯科大学

50年代和60年代，是战后的恢复发展期。12年义务教育的普及，高等教育的大发展，为数学家们造就了极好的就业局面。数学家的人数大量增加，数学论文的数目呈爆炸之势，新的数学学科层出不穷。人们慨叹，在外尔和冯·诺伊曼于50年代先后去世之后，能够纵观数学全局的数学家，似乎已经不会再有了。只有1987年去世的柯尔莫哥洛夫也许是个例外。

图7 柯尔莫哥洛夫

尽管文献浩如烟海，重要的数学工作仍然十分令人注目。这里选取的当然是一些不完整的罗列：

希尔伯特第五问题——每个局部欧氏群一定是李群——于1952年获得完全解决。

柯尔莫哥洛夫与阿诺尔德（B. И. Apнoльд，1937—2010），以及美国的莫泽（J.K.Moser，1928—）分别于1954年、1963年完成动力系统的KAM定理，已成为三体问题、哈密顿系统研究的经典成果。

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