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什么是补码_什么是补码原码反码他们之间是如何转换的
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发布时间:2020-12-06加入收藏来源:互联网点击:
第 1 位:A + 1 等于 B,再加上进位 1,结果就是 C,十六机制中有这个数字。
四、把负数计算转换成正数计算1. 原码原码(true form)是一种计算机中对数字的二进制定点表示方法。原码表示法在数值前面增加了一位符号位(即最高位为符号位):正数该位为0,负数该位为1(0有两种表示:+0和-0),其余位表示数值的大小。
例如,用 8 个 bit (8 位二进制数)来表示一个数,+11 的原码为 0000_1011,-11 的原码就是 1000_1011。
2. 把负数计算变成正数计算我们都知道,CPU 中有加法器,好像从来没有听说过“减法器”。例如计算 5 + 8,转换成二进制来计算:
再来计算一下减法:5 - 8,对于 CPU 来说,只会计算 5 + 8, 但是不会计算 5 - 8。
但是可以转换一下思路,把减法变成加法 5 + (-8),这样不就可以计算了吗?于是计算机先驱者就发明了反码:
正数的反码:保持原码不变;
负数的反码:原码中符号位不变,其余全部取反(-8 的原码是 1000_1000,反码就是:1111_0111);
于是 5 + (-8)的计算过程就是:
此时,就完美解决了减法问题,那么乘法(多加几次)、除法(多减几次)问题也就跟着解决了。至于如何从数学的角度来证明,那就要问那些数学家了!
3. 新问题:如何表示0?我们现在可以小结一下反码的表示范围(记住:第一位是符号位):
正数的表示范围:0000_0000 ~ 0111_1111,也就是十进制的 +0 ~ +127 这 128 个数;
负数的表示范围:1000_0000 ~ 1111_1111,也就是十进制的 -127 ~ -0 这 128 个数;
有没有发现问题:怎么存在 +0 和 -0 这两个数?而且他们的编码还不一样:+0 对应 0000_0000,-0 对应 1111_1111。
CPU 虽然就是一个傻瓜,让它干啥就干啥,但是 CPU 最不能容忍的就是不确定!我们都知道 +0 == -0 == 0,它们是同一个数字,但是在二进制编码中,居然有两个编码来表示同一个数。
伟大的计算机先驱者又做了这样一个决定:正数保持不变,负数整体减 1。
也就是说:符号位不变,值整体加1,如下:
这样就成功解决了 -0、+0 的问题!
现在 一个 8 位的二进制就可以表示的范围是:-128 ~ 127,并且中间没有任何重复、遗漏的数字。
既然每一个二进制表示的值发生了变化,那么继续称之为反码就不准确了,此时给它们一个新的称呼:补码,也就是说:上图就变成了这样:
小结一下补码的定义:
正数的补码:保持原码不变;
负数的补码:原码中符号位不变,其余先全部取反,然后再加1(例如:-8 的原码是 1000_1000,补码就是 1111_1000);
此时,我们仅仅是解决了二级制编码的表示问题,那么:补码能直接参与运算吗?运算结果会出现什么问题?
4. 补码的计算我们先看一下这个问题:假设现在时间是 1 点整,但是你的手表进水了,它显示的是 3 点整,现在你怎么把时间调整到 1 点的位置?
方法1:把时针逆时针拨动 2 个小时(3 - 2 = 1);
方法2:把时针顺时针拨动 9 个小时到 12 点,然后再拨动 1 个小时(3 + 10 = 1);
对于时钟表盘来说,每 12 个小时为一圈,可以认为:-2 == 10,-1 = 11, -3 = 9,同样的:-2 == 10, -2 == 22, -2 == 34,...
可以看到规律是:-2、10、22、34 这些数字对 12 取模都得到同一个数(取正数),在数学上,两个整数除以“同一个整数”,若得相同余数,则这两个整数同余。
表盘中的 12 就是这个“同一个整数”,可以看到这是一个可“溢出”的系统,-2、10、22、34 这几个数在表盘上表示的是一样的数,所以说这几个整数同余。
也就是说:在计算的时候,可以用 10、22、34 这几个数字来替换 -2,替换之后的计算结果是相同的。
那么对于一个 8 位 的二进制数来说,最多只有 8 位,在计算过程中,如果最高位产生了进位,就会被丢弃,所以它也是一个可“溢出”的系统。那么这里的“同一个整数”是多少呢?
从前面的内容中可以看到,使用补码表示的 8 位二进制数表示的范围是 -128 ~ 127,一共是 256 个数,所以如果对 256 取模,得到相同的余数,那么这些数就是同余数。
例如:-2 和 254 对 256 取模,得到相同的余数,因此它俩就是同余数,那么在计算的时候,就可以用 254 来代替 -2。
那么我们通过计算 3 + (-2) 来验证一下。
(1) 利用同余数来计算
3 + (-2) == 3 + 254 = 257
257 超过了最大的表示范围,所以溢出,结果就是 257 对 256 取模,结果为 1。
(2) 直接用补码来计算
3 的补码是 0000_0011,-2 的补码是 1111_1110,在计算的时候,把符号位也参与运算:
结果也是 1,也就是说:
在二进制计算中,使用补码来计算,“天然”就满足了“同余定理”。
细心的读者可能已经发现了:-2 的二进制补码表示,与 254 的二进制自然表示,它们的形式是一样的!
这种“天然”,是巧合?还是计算机前辈的设计结果?!
五、总结这篇文章,我们探讨了计算机系统的软件基石:二进制系统,主要的目的是帮助你理解二进制的表示、计算方式。
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本文到此结束,希望对大家有所帮助呢。
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