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radon变换(radon变换原理)

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

美国的米尔诺（J.W.Milnor，1931—）于1956年发现，在8维空间中有一个流形，和7维空间中的单位球面同胚但不微分同胚，即所谓“米尔诺怪球”。

美国的斯梅尔（S.Smale，1930—）于1960年证明广义庞加莱猜想。

英国的阿蒂亚和辛格（I.M. Singer，1924—2021）于1963年将一般流形的拓扑结构和其上微分算子的核空间维数联系起来，得到深刻的阿蒂亚-辛格指标定理。

美国的科恩（P.J. Cohen，1934—）于1963年证明，选择公理和ZF公理体系独立。

前苏联的诺维科夫（C.Π. HOBИKOB，1938—）于1965年证明微分流形的庞特里亚金类的拓扑不变。

法国的格罗滕迪克（A. Grothendieck，1928—2014）于1966年建立格罗滕迪克群和环，并由此引人K理论。

在美国罗宾逊（J. Robinson，1919-1985）工作的基础上，前苏联的马蒂塞奇（Ю. Maтиясевич，1948—）于1970年解决了希尔伯特第十问题，即丢番图方程无有限步算法。

40年代由韦伊提出的韦伊猜想得到解决。格罗滕迪克首先取得重大进展，1974年其弟子、来自比利时的德利涅（P. Deligne，1944—）彻底解决。

大范围微分几何成为表述规范场论的数学工具。这是陈省身和杨振宁（1922—）于1975年前后分别从数学和物理学上所得成果的统一。

美国黑肯（W.R.G. Haken，1928—）1978年在伊利诺伊大学完成四色问题的电子计算机证明。

在美国的布饶尔（R.D. Brauer，1901—1977）、汤普森（J.G. Thompson，1932—）和戈朗斯坦（D. Gorenstein，1923-1992）等人的努力下，有限单群分类于1980年得到完全解决。

战后数学上最大的变化是电子计算机的使用。数学由此变成了一种技术——数学技术。科学计算成为继理论构建、实验考察之后的第三种科学研究方法。军事指挥、飞机设计、原子弹爆炸、化学反应、人口计划、气象预测、卫星定位、石油勘探、企业管理，一切都可以运用数学模型在计算机上进行。数学为人类创造了巨大的财富，节约了无数的资源，这一切却很少被公众所充分了解。以数学工作获得诺贝尔经济学奖已是十分常见的事情。

图8

在这基础上，许多纯粹数学得到料想不到的应用。例如，有限域用于密码学，数论用于近似计算，纤维丛理论用于规范场，拉东变换用于CT扫描，拓扑学用于DNA分子结构，等等。同时，由于计算机科学和人工智能的需要，组合数学得到了迅猛的进展。计算复杂形成了一门艰深的理论。寻求多项式算法成为数学家注意的焦点。1979年前苏联哈奇扬（Л. Г. Хачиян）提出线规划的椭球算法，以及后来的卡玛卡算法都是轰动一时的新闻。起源于实际、却又大胆创新的学科相继涌现，例如，模糊数学、非标准分析、突变理论。它们创立者都认为自己的工作将是数学的一场革命，但这需要时间的检验。

总之，二战以后，数学向科学女王和科学侍女两极发展。一方面，纯粹数学继续向高、深、难的方向进军，范畴、流形、纤维丛、多复分析、代数簇、上同调、鞅、分枝等新领域不断得到开拓。数学研究的对象从低维空间到高维空间以至无限维空间，函数和方程的研究从单变量发展到多变量，已经大体完成了的线数学走向非线数学，决定数学和随机现象的数学彼此融合和渗透。数学仍保持着至高无上、完全正确的华贵形象。另一方面，数学又极力为其他科学服务，为人类的生活服务，走近常人的生活，使应用数学广泛渗入到各门学科（包括社会科学）中去，科学数量化的进程可以说无孔不人，数学确已成为人们忠实的科学侍女。

三、 数学多极化时代来临（1980年至今）

进入80年代，世界的政治经济出现多元化的格局，数学也进入了多元化格局。一个大体的描述是：“美国、前苏联继续领先，西欧紧随其后，日本迎头追赶，中国和其他地区正在迅速发展。”1991年苏联解体使得原苏联地区的数学有所削弱，但其数学基础和研究实力仍然十分强劲，不可低估。

经过二次大战以后，数学家队伍有了空前的扩大。数学工作市场有饱和的迹象。纯粹数学研究仍会保持前进的态势，但要求有更高的研究水平，产生更有意义的成果。一些“无病呻吟”、“滥竽充数”的数学论文将会受到冷落，优胜劣汰的法则已经比过去更加严厉地在数学界通行。一个最激动人心的事件是费马大定理的证明。1983年，德国的法尔廷斯（G. Faltings，1954—）证明费马大定理如果有解，至多有有限个互素解。1993年6月，英国的怀尔斯（A. Wiles，1953—）在前人工作的基础上宣布费马大定理是正确的（最终证明于1994年9月完成），这是人类智慧的伟大象征，是20世纪末最高的一项数学成就。

数学家大批转向计算机科学和人工智能领域，乃是就业市场自然调整的结果。同时计算机的威力扩大和延伸了数学家的脑和手。非线数学的发展得力于此。80年代以来，混沌理论、分维几何、孤立子解、小波分析等数学热点，没有不和计算机发生联系的。

图9

数学和物理学层面的交融，仍然是数学发展的重大源泉。1987年，英国的唐纳森（S. Donaldson，1957—）在杨-米尔斯方程的求解过程中，发现四维空间中有一种流形，具有两种不同的微分结构，大出人们的意料之外。美国物理学家威滕（E. Witten，1951—）用物理学方法推演数学问题，虽然没有严格证明，却得到了正确的数学结果。希尔伯特的形式主义数学哲学，布尔巴基的结构主义数学观，在威滕的工作面前显得无能为力，数学中经验主义是否正在复兴？只有猜想没有严格证明的“理论数学”是否允许存在，正严肃地摆在数学界的面前。

四、20世纪的中国现代数学

中国现代数学之开端可以追溯到徐光启（1562—1633）和利玛窦（R.Matteo，1552—1610）于1607年翻译出版欧几里得的《几何原本》。清末李善兰（1811-1882）曾和伟烈亚力（W. Aexander，1815-1887）于1859年译出美国数学教材《代微积拾级》，李善兰恒等式至今犹有价值。1898年京师大学堂成立，先后派遣一些学生到日本学习数学。其中有冯祖荀（1880-1943），后来长期担任北京大学数学系主任。清末到美国学习数学的有胡敦复（1886-1978）、郑桐荪（1887-1963）、秦汾（1887-1971），起过一些先驱作用。1909至1911三年中，因美国退回部分庚款而选送三批中国留学生到美国留学。以学习数学而著称的有胡明复（1891-1927），他是中国第一位数学博士（1917年于哈佛大学获得）。姜立夫（1890-1978）于1911年到美国，1918年也在哈佛获博士学位。与此同时或稍后，何鲁（1894-1973）与熊庆来（1893-1969）到欧洲研习数学。他们回国后推动中国各大学数学系的创办，奠定了中国现代数学的基础。

图10 姜立夫

30年代的清华大学数学系实力雄厚。特别是陈省身和华罗庚两位青年学者的到来，使中国数学开始走向世界。江泽涵（1902-1994）致力于北京大学数学系的发展。从日本回来的陈建功（1893-1971）和苏步青（1902-2003）建设浙江大学数学系，使之成为中国数学发展的又一基地。到了抗日战争时期，西南联合大学已拥有陈省身、华罗庚、许宝騄（1910-1970）这样具有很高声誉的数学家，和其他数学家一起，中国现代数学开始接近世界先进水平。

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