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刘维尔定理(刘维尔定理证明)
黑洞,信息,霍金刘维尔定理(刘维尔定理证明)
发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：
黄色直线是霍金计算辐射熵，白色直线是最大信息含量。丨图源：Quanta Magazine
这根看起来清晰易懂的佩奇曲线似乎已经给出了问题的答案，但其实这里只是定地描述在佩奇时间之后信息开始从黑洞中泄露出来，却不能对具体过程提供定量刻画。实际上，物理学家无奈地发现，这条曲线上除了首尾两点之外，中间的部分还不知道该如何下手计算。
于是，这场智力竞赛又转变成了计算模型的比拼，各种武器纷纷被搬了出来。最近几年里，经过全息对偶、纠缠熵、量子引力的路径积分等等一众新型武器的不断狂轰滥炸，终于取得了明显进展。最终由本文开头所提到的Netta Engelhardt教授以及其他几位物理学家一起，宣告佩奇曲线终于可以计算了。
图源：Black Hole - Home丨Facebook
以上就是关于黑洞信息悖论最通俗版的简略介绍，不过假若就此收笔的话，恐怕会收到返朴读者的许多西红柿和鸡蛋。毕竟前面所谈的这些内容已然在各类科普介绍中流传很久，如果不能展开些稍微深入的内容，怎么能满足返朴读者的高雅品味呢！
信息=纠缠相信许多人在试图理解黑洞信息悖论的时候，第一个感到困惑的问题就是“信息”这个概念究竟指什么？与黑洞熵又到底存在怎样的联系？那我们就先从这个问题开始，谈一些略具体的物理内容。
在相关文献中，出于精确的考虑，大多会将悖论中“信息丢失”的含义解释为“系统演化失去幺正”。这种阐述当然是正确的，但未必便于直观理解。其实有种略显粗糙的直观解读，就是干脆将“信息”等价于“纠缠关系”，那么“信息丢失”的含义就可以简单地理解为“纠缠关系的丢失”。
让我们设想一个简单的游戏，在桌上抛三枚硬币并记录结果，正面记为“1”反面记为“0”。如果硬币之间相互独立，那么抛掷结果是一个3位二进制数字，可能的情况一共有8种，所以这个系统的熵是ln8。而如果用胶水把硬币粘连起来，正反面分别是1和0，可能的结果就只剩下2种，这时系统的熵是ln2。而这块粘成坨的“硬币饼”就可以当做暗号标记，用来记录和传递信息，其所承载的信息量就被定义为ln8-ln2。
图源：作者原创
把这个例子对应到物理语言，每个硬币就相当于一个自由度，胶水就是自由度之间的纠缠。例子中的ln8是仅从自由度出发得到的粗粒化熵，其实大多数情况下基本就等于热力学熵；ln2则是考虑纠缠关系约束的精细化熵，也称为冯诺依曼熵。可以看出，一个存在纠缠关系的系统内，其粗粒化熵与精细化熵之差，就可以视作信息的度量，如果把硬币看做比特，这其实就等价于香农的信息熵。
而黑洞造成信息丢失的原理，也可以借助这个类比来理解。我们知道黑洞辐射的形成机制，是将一对纠缠的粒子掰开并吞下其中一个，被放生的另一个粒子就成了霍金辐射。注意，纠缠关系不受时空距离限制，所以黑洞的吞噬动作本身并没有切断纠缠关系，信息也就没有丢失，只是被黑洞视界掩藏了起来。站在黑洞外面无论怎么拼命研究那剩下的一半，也不可能获知原本纠缠关系所包含的信息。最终真正造成信息丢失的，是黑洞的蒸发消失。随着黑洞寿终正寝，始终被掩藏着的纠缠关系所对应的信息也就从宇宙中消失了。
顺便提一句，前文说到的火墙理论，之所以能在黑洞视界处将信息反弹，其实就是物理学家设想了一种机制，在产生霍金辐射的同时使纠缠关系也断裂，从而保证信息不会掉入黑洞。
火墙理论认为纠缠关系在视界处断开，并放出大量能量，所以在黑洞视界处形成火墙。丨图源：Science News
火墙理论虽然有趣，却不是本文要介绍的重点，我们还是把话题回到最近刚刚取得进展的佩奇曲线计算问题上来。
量子化的黑洞物理学家们很早就知道，黑洞的热力学熵与黑洞视界的表面积成正比，而且比例系数刚好是普朗克面积的4倍。这启示他们猜测，黑洞的粗粒化熵应该与热力学熵差不多，也与面积成正比。而粗粒化熵又只对应着自由度的个数，所以每个4倍普朗克面积的“熵单元”，就对应着一个黑洞的自由度。这样，整个黑洞就可以被看做一个有限自由度的量子系统，其自由度数就等于“熵单元”的个数。
所有信息都被编码在黑洞视界表面丨图源：Semantic Scholar
这样不仅意味着黑洞能容纳的熵总量有限，同时也说明黑洞作为存储信息的容器，其信息容量也存在上限。还是类比那个抛掷硬币的例子，黑洞的表面积对应着硬币总数。而每产生一个霍金辐射粒子时，都相当于将一小点信息写入黑洞这个存储器中，结果就是使某两个硬币粘连起来以记录这个信息。可以想象，有限个硬币最终彻底粘成一整坨的时候，整个黑洞就是一个纯态系统，所记录的信息量也就达到了上限。别忘了，伴随着向外辐射，黑洞自身质量和视界表面积在不断缩小，也就是硬币总数在减少。所以必然在彻底蒸发消失之前，就先遇到这个信息饱和的状态。这个时刻，就是佩奇曲线上的佩奇时间。
读到此处，也许有读者会有种“原来不过如此”的感觉，看起来佩奇曲线似乎应该不难计算。无非就是桌上有一堆硬币，旁边有两个淘气鬼，一个淘气鬼不断从桌上拿走硬币，另一个把桌上的硬币用胶水粘来粘去。感觉难度不会超过小学数学应用题的水平。然而当把这个看似简单的过程套用在黑洞上时，两个困难的挑战就同时出现了。
首先是武器短缺。着手处理量子化黑洞，就必然需要弯曲时空背景下的量子场论，而且最好是非微扰形式的理论模型。因为黑洞视界处时空已经被极限扭曲，用微扰形式恐怕难以揭示有价值的物理内容。然而这方面的既有武器储备还非常有限，事实上人们本来就是指望着黑洞热力学的研究，能够帮助推动量子引力理论的发展。
其次是物理图像不够清晰。佩奇曲线只是概略地指出结论，黑洞作为一个巨型U盘，存储信息的容量有上限，当容量被占满之后信息就会从黑洞里溢出来。可是在佩奇时间之后一个纯态的黑洞具体该如何演化？已经存储在里面的信息又是具体如何溢出的？这些问题都没有答案，甚至连信息的具体承载形式也远没有定论可依。
物理学家的魔术毯一部分研究者直面挑战迎难而上，发展出许多构思精确的理论模型，并一步步向着目标艰难靠近；也有一部分研究者索绕开中间问题，直奔最后的目标。Netta Engelhardt的研究方式主要属于后者，她借助一种“体”与“边界”之间的对偶关系，巧妙地规避了许多具体问题。
这种对偶关系是指，一个房间内部的所有物理现象和演化规律，可以毫无偏差或遗漏地编码到房间的墙壁上。这非常像我们把一个3维立体形象记录在2维平面上的全息摄影技术，所以物理学家干脆称之为“宇宙全息理论”。与全息照片不同的是，宇宙全息理论中“体”与“边界”在真实方面完全等效，我们可以主观地任意选择一种观念当做我们生活的真实背景，但并没有客观的角度告诉我们究竟二者中哪个是真实哪个是幻象。也就是说，我们既可以认为自己真实地生活在4维时空中，也可以同时认为我们都是投影幻象，所谓真实都只存在于3维的宇宙边界内。秉持不同观念的人，完全可以沟通无障碍地讨论同一种物理现象，并作出相同的推算和预测，只是各自手中的数学计算公式有所差异罢了。
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