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阿基里斯与龟悖论解释(阿基里斯与龟悖论解释初等数学到高等数学)

里斯,芝诺,悖论阿基里斯与龟悖论解释(阿基里斯与龟悖论解释初等数学到高等数学)

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

到了这里，大家都觉得这个悖论已经被破解了。其实不然。阿基米德的思路确实是沿着芝诺追赶过程的逻辑走。把这个过程描写成无穷级数求和的问题，给出整个追赶是在多长的范围内。芝诺的逻辑说这个差距在追赶的过程中永远存在，不会是零，所以不会被超越。对应着无穷级数求和是一个逼近的过程，它可以无限逼近它的极限值，但永远不会达到。因此阿基米德和现代级数收敛计算的结果只是给出了悖论常识一方可能被超越时的边界数值，而没有跨过这永远不会为零的间隙。

在收敛的情况下，阿基里斯事实上能够达到这个极限点从而超越，然而在逻辑上，这与无穷级数求和只能无限逼近它的极限值仍然构成悖论矛盾的双方。到底阿基里斯能不能追上乌龟，等价于这无穷级数求和能不能等于它的极限值。这就要涉及到数学上实无穷和潜无穷的哲学争论了。实无穷认为无穷是可以达到的，当阿基里斯追上乌龟时便是这种情况，这时无穷级数的和等于它的极限值。潜无穷认为无穷是一个过程，不是实在的东西。在这个观点下，无穷级数求和只能不断逼近它的极限，而不是等于它。这个观点导致阿基里斯永远陷在追赶乌龟的过程中。

毕达哥拉斯学派主张10.9999... 是赞成潜无穷观点。用实无穷虽然可以解释许多结果，但是它的使用产生出很多问题，很多人并不支持。在他以后的亚里士多德倾向潜无穷但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞，这时大家对无穷都很头疼，以后的数学家从欧几里德开始，都尽量回避无穷的问题，专注于谈得清的有限问题。一直到牛顿和莱布尼茨的微积分，又采用了实无穷的概念，将导数表示为两个无穷小之比，积分为许多无穷小的加权和，得出丰硕的成果。实无穷的思想回潮和滥用，又产生了很多问题和混乱，以致贝克莱把这些矛盾组合成悖论来反对微积分，导致数学第二次危机。到了魏尔斯特拉斯，他驱逐了实无穷，由潜无穷的概念发展出严谨的极限概念，重铸分析的基础。百多年后，康托尔又在集合论中将实无穷请回来。在20世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，从而建立了非标准分析。数学的直觉主义学派如今仍然反对实无穷。以致希尔伯特感叹说："无穷是一个永恒的谜！"

芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论的破解，经过两千多年兜了一圈又回到实无穷与潜无穷的争论中去。今日人们实用主义地在不同场合分别使用这两种概念。这当然是一种未澄清的矛盾状态。到现在，中外数学，物理和哲学期刊里还不时有着讨论实无穷，潜无穷及芝诺悖论的论文。争论仍然没有结束。

由上述问题可以看出，在没有极限这个工具之前，人们遇到诸如阿基里斯不能跑过乌龟这样的悖论时，显得束手无策。而且无穷学说的提出，引起了数学界的巨大混乱。即使伟大的数学家牛顿和莱布尼茨创立微积分时，还没有给出极限严密的数学定义，直到柯西这个大神出现，他给出了极限的数学定义，正是有了极限这个工具才能解决了让无数数学家烦恼不已的问题。从这个角度，我们称柯西是近现代数学分析的奠基人一点儿都不为过，把极限称为高数的灵魂就应该是理所当然。

最后让我们用英国哲学家阿尔弗雷德·怀特海（Alfred Whitehead）的话来为芝诺的悖论盖棺论定。怀特海曾经表示，虽然所有人都不认同芝诺的结论，但"每个世纪都认为他值得反驳"，这就非常了得，因为"文字能被每个世纪所反驳乃是成就之巅峰"。所以我们在分析问题的时候，千万不要被惯思维误导，在问题的关键中寻找漏洞，也许可以将看似坚不可摧的逻辑悖论破解！

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。

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