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圆的周长怎么算（你会背圆的周长和面积公式）

正多边形,圆周,面积圆的周长怎么算（你会背圆的周长和面积公式）

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

圆形简单、对称、精致。但是我们到底要怎样去度量它呢？就这个问题而言，其实质是我们要怎样去度量弯曲的形状。

关于圆形，我们需要注意的第一件事情是，圆上的任意一点距离圆心的距离都相等。毕竟，只有这样它才能够成为一个圆。圆上的任意一点距离圆心的距离，我们称之为圆的半径。由于所有的圆其形状都相同，因此只有半径能够使一个圆区别于另外一个圆。圆的周长，我们称之为圆周（circumference，拉丁语“随身携带”的意思）。我想，对于圆而言，最自然的度量便是其面积和圆周。

让我们从做一些近似开始吧。如果我们在圆上放置一定数目的等距离的点，然后连接各点，由此我们就会得到一个正多边形。

这个正多边形的面积和周长的值比圆的相应值要小一些，但这两对值相当接近。如果我们放置更多的点，则可以使这两对值更加接近。假定我们所使用的点的数目很大，比方说为n。于是，我们就得到一个正 n边形，且其面积和周长与圆的真实面积和周长非常接近。关键的一点是，随着正 n边形边数的增多，正n边形也会越来越近似于圆。那么，此正多边形的面积又是多少呢？让我们将它切分成 n个相同的三角形吧。

这样，每个三角形的底边长度就等于正多边形的边长，令其为 s。而三角形的高度则是从圆心到正多边形边的距离，我们称该高度为 h。因此，每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积则为1/2hsn。注意到 sn正好是正多边形的周长，因此我们可以得出如下等式：

其中的 p为正多边形的周长。就这样，使用周长和圆心到边长的距离，我们将正多边形的面积精确地表示了出来。

然而，随着边数 n无限地增大，情况又会怎样呢？显然，正多边形的周长 p将会和圆的周长 C越来越接近，而高度 h也将会逼近圆的半径r。这说明正多边形的面积必然会逼近1/2rC，而同时正多边形的面积也一直在逼近圆的真实面积 A。那么，唯一的结论只可能是，这两个数值必然相等，即

这表明，圆的面积刚好等于半径与圆周的乘积的一半。

一种思考该结论的好方法是，设想将圆周展开成一条直线，则该直线和圆的半径刚好形成一个直角三角形。

我们所得出的公式表明，圆形所占据的面积刚好和这个直角三角形的面积相等。

这里，有一种很重要的方法。仅仅通过做一些近似，我们就不经意地得出了圆的面积的精确表示。关键的一点是，我们并不只是做了几个精确程度很高的近似，而是做了无穷多个近似。我们构造了一个精确程度越来越高的无穷近似序列，这无穷多个近似已经足以让我们看出其中的模式并得到它们的极限。换句话说，我们可以从一个有模式的无穷近似序列中得知真理。因此，将这视为迄今为止人类所产生的最伟大的想法，是有一定道理的。

这种奇妙的方法，我们一般称之为穷竭法，它是由古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，柏拉图的一位学生）于公元前 370年左右发明的。它让我们可以通过构造无穷的直线近似序列来度量弯曲的形状。运用穷竭法构造无穷近似序列的诀窍是，所构造出的无穷序列必须具有某种模式——一个无穷的随机数序列并不能告诉我们什么有价值的信息。因此，只有一个无穷的序列是不够的，我们还必须能够发现其中的模式从而理解该序列。

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现在，我们已经用圆周将圆的面积表示了出来。但圆周是否也可以度量呢？对正方形而言，用相对于边长的比例来度量周长是很自然的，即四周的长度与一条边长的比值。同样，对于圆，我们也可以采用这样的方法。通过圆心的直线与圆的两个交点之间的距离，我们称之为圆的直径（显然直径正好是半径的两倍）。因此，对圆来说，类似的度量将会是圆周与直径的比值，即圆周率。由于所有的圆其形状都相同，

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