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数学上“频率”与“概率”的关系？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

数学上“频率”与“概率”的关系？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三十多年。说到“频率”与“概率”的关系，首先要了解初中数学中基本的统计思想：用样本估计总体，用频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。频率是通过试验得到的统计量，而概率是通过建立数学模型，计算得到的理论值。在一定的情况下，可以用频率去估计（代替）事件发生的概率。

一。用样本估计总体

统计中，通常通过调查的方式获取相关的统计量。调查通常有两种方式：普查和抽样调查。比如：第六次全国人口普查（2010年11月1日），就是在国家统一规定的时间内，按照统一的方法、统一的项目、统一的调查表和统一的标准时点，对全国人口普遍地、逐户逐人地进行的一次性调查登记。这次人口普查登记的全国总人口为1,339,724,852人这个数据采用的就是普查方式得到的。而国家统计局每季度发布的居民人均可支配收入、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采用抽样调查方式获取的。

当统计的总体容量很大，调查耗时费力，调查成本巨大或者试验具有破坏性时，不宜采用普查方式，就要用抽样的方式来进行统计，然后用样本的统计量，去估计总体统计量。这种统计思想就叫做用样本估计总体。

比如：某照明企业生产一批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使用寿命，采用哪种调查方式比较适合呢？因为要了解LED的使用寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，一直点亮直至自然熄灭（寿终正寝）。这样试验是具有破坏性的，显然不能用普查方式，只能采用抽样的方式来进行。从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为一个样本，通过试验得到这个样本的平均使用寿命为3000小时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使用寿命为3000小时。




二。用频率估计概率

俗话说，天有不测风云，人有旦夕祸福。这句话从数学的角度来理解就是，在自然界和人类社会中，严格确定的事件是十分有限的，而随机事件却是十分普遍的，概率就是对随机事件的一种数学的定量描述。它有助于我们更全面地认识随机事件，并对生活中的一些不确定情况作出决策。天气预报中，有一个指标叫降水概率。比如，某天降水的概率为2%，是指这天下雨的可能性很小，我们依据这个概率决策：出门可以不带伞。

但是，不是所有随机事件发生的概率都可以进行理论计算的，因而，随机事件发生的概率获取通常有两种方式：理论计算和试验估计。

在初中阶段，我们可以掌握的概率模型通常有三种类型：1.问题本身没有理论概率，只能通过试验模拟估计（比如，前面举例中，任取一个LED灯泡是次品的概率）；2.虽然问题存在理论概率，但计算方法超出初中阶段学生的认知水平，只能通过试验模拟估计（比如，以任意三条线段为边，围成三角形的概率）；3.问题是简单的古典概率模型，理论上容易求出概率（比如，掷骰子掷到1点的概率），但也可以通过试验来验证。

通过以上的分析知道，无论哪种概率模型的概率都可以通过试验模拟估计。以古典概型掷硬币试验为例，详细说明什么是用频率估计概率。随机掷硬币一次，只有两种可能：正面朝上或反面朝上，因而正面朝上的理论概率=0.5。其实，历史上有很多数学家都做过掷硬币试验，通过试验来验证这个理论概率。下面的图表是部分数学家试验得到的数据：

从以上图表可以知道，正面朝上的频率=正面朝上的次数/总次数。比如由上述图表可知，蒲丰共掷硬币4040次（总次数），其中正面朝上的次数2048，这个次数也称为频数，因而，正面朝上的频率=2048/4040≈0.506931。当试验的次数很大时，这个频率稳定在概率的理论值0.5附近。因而，我们可以用试验得到的正面朝上的频率去估计正面朝上的概率。需要说明的是，我们说这个频率稳定在理论值0.5附近，并不意味着试验次数越大，就越接近0.5。有可能随着试验次数的增大，试验得到的频率与理论概率的差距反而扩大了，出现这种情况本身也是一个随机事件，但稳定在理论值附近的趋势是改变不了的，因而我们完全可以用试验得到的频率去估计（代替）事件发生的概率，这种统计思想就叫做用频率估计概率。

下图是本人制作的计算机模拟投币试验：

三。用频率估计概率 蒙特卡罗方法 蒲丰投针试验

蒙特卡罗方法是美国研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和计算机的发明者J.冯·诺伊曼首先提出。这种方法借用世界著名的赌城—摩纳哥的Monte Carlo（蒙特卡罗）命名，更增添了它的神秘色彩。蒙特卡罗方法，在现代金融工程、宏观经济、计算物理、核物理等领域都有广泛应用。其实，这种思想可以追溯到一个更早更著名的试验---《蒲丰投针试验》。1777年，法国数学家蒲丰提出用投针试验的方法求圆周率π，他的这种试验方法被认为是蒙特卡罗方法的起源。

蒲丰投针试验中，针与平行线相交的理论概率p是可以计算的，p=2l/πa，其中l是针长，a是平行线的间距，它们都是已知量，因而p可以求出。并且针与平行线相交的频率p1是可以通过试验得到的，因此借用频率估计概率的思想有p=p1，即p1=2l/πa，在这个试验中，我们感兴趣的不是概率和频率（这些都是已知量），而是圆周率！我们对圆周率的值到底是多少很感兴趣，为此，只要将p1=2l/πa变形，即可得到求圆周率π的计算公式：π=2l/p1a。

下图是历史上部分数学家通过投针试验，用频率估计概率思想，测得的圆周率的数据：

蒲丰投针试验求圆周率的方法，完全颠覆了我们对刘徽割圆术求圆周率的认知。只不过后来在此基础上发展起来的蒙特卡罗方法，是用计算机进行模拟试验，来测量我们感兴趣的事先未知的任何常数的值。

下图是本人制作的计算机模拟投针试验：




结语：

用样本估计总体，用频率估计概率是初中阶段必须具备的两个基本统计思想。诸如我们常常遇到有关概率统计类数学题目：掷骰子，翻牌游戏，转盘游戏，摸球游戏以及有关游戏公平性的问题，还有设计试验去估计生日相同的概率，池塘里有多少条鱼等等，都是借助这两个基本的统计思想建立数学模型，从而获得问题解决的。

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