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千年的质数公式会不会非常简单，如果非常简单，会不会气坏所有数学家？

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

千年的质数公式会不会非常简单，如果非常简单，会不会气坏所有数学家？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

古希腊数学家欧几里得于公元前 300 年前后证明有无限多个素数存在以来，至今科学家仍未发现可以完全区别素数与合数的公式。还有许多有关素数的问题依然未解，如哥德巴赫猜想。

让人魂牵梦绕的素数定理

几百年来，一个问题引发了许多数学家的思考：既然素数很重要，能不能有某种规则，来产生素数？遗憾的是，这样的规则一直未被发现。

当大家在寻找素数的时候，发现随着数越来越大，素数越来越少。比如100以内有25个素数，1000以内有168个素数，1000000以内只有78498个。为什么1000以内是168个素数，而不是158个或178个？有没有一个公式或规则，能告诉我们，小于一个给定数的素数有多少个？

这个问题正是黎曼在1859年被柏林科学院任命为通信院士后向科学院提交的一篇论文，题目为《论小于某给定值的素数的个数》。

事实上，关于素数分布的问题在更早些时候已经引起了数学大家如欧拉和高斯的关注。高斯就曾给出了素数分布规律的猜想。他认为：

这一发现可以被看作是探索未知的经典案例，需要有超凡的毅力（设想一下在没有计算机的年代求几千万以内的素数）和洞察力。不妨从下表的素数个数开始。看上去没有什么规律，只能看出随着N的增大，小于N的素数密度逐渐稀疏。

我们不妨尝试观察一下这个密度到底如何变化，不妨取密度的倒数N/π(N)，如下表。稍微有一点找规律经验的人大概就看出来随着N以指数速度递增，N/π(N)大致是以固定的步长递增。

指数函数和等差的关系，稍微学过一点中等数学的人就能知道，将指数函数取对数，那就变成线性函数了。下表给出了lnN和N/π(N)的对比。

看上去是不是很简单？确实，但如果你觉得这么简单的规律你也可以发现和总结，那就错了。仅靠一支笔和一张纸，求出1000000000以内的质数，要不你试试？ 据说当年15岁的高斯没事的时候就是算素数玩，你行吗？

这个被冠以“素数定理”的命题得到了高斯、勒让德、狄利克雷、黎曼、切比雪夫、塞尔贝格、爱尔特希(Paul Erdos)和阿达马(Hadmard)等众多数学大家的重视。据说无论谁证明了素数定理，都将得到永生。

数学家几千年来一直对素数的相关猜想着迷，前赴后继有很多数学家都在这些关于素数的孜孜不倦的探索者。著名的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想都是关于素数规律的猜想。数学家们一直苦于没有找到一个素数公式，导致这些猜想依旧是世界难题，至今没有解决。

黎曼猜想,通往质数的征途

1900年，大数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，它为整个二十世纪的数学发展指明了方向。时过境迁，值千禧年之际，美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题，并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金。

当我们回顾这次跨越时空的呼应时，却发现有一个共同的问题，并且已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之处，竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕？在它那里，又藏着怎样惊世骇俗的秘密？破译这样一个难题，真的会给数学和世界带来激动人心的改变吗？

1.质数探索

在自然数序列中，质数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。4，6，8，9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。

人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期，彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但是对质数的分布规律却毫无头绪。随着研究的深入，人们愈发对行踪诡异的质数感到费解。这些特立独行的质数，在自然数的汪洋大海里不时抛头露面后，给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后，又再次扬长而去。

1737年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。

沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。

2.横空出世

虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。

其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。

没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。

3.黎曼Zeta函数

黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和。因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛（收敛在这里指级数的加和总数小于无穷）。

为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面。

研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。

黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。

第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。

第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。

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