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欧几里得的第五假设被证明不可能还原至更简单的定理，这个证明的惊奇点在哪儿？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

欧几里得的第五假设被证明不可能还原至更简单的定理，这个证明的惊奇点在哪儿？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

问题


第五公设：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

欧氏几何学

大约公元前400~300年，处于第一次数学危机发生和解决的后危机时代，欧几里得（Euclid）接受一些视觉图形和“不证自明”的现象作为起点，并将其命名为公设和公理，编纂《几何原本》用公理化的推演模式，建造了世界瞩目的数学逻辑体系。

在《几何原本》中，欧几里得对“第五公设”的处理总让人感到有不尽人意的缺憾。人们一直都希望通过欧氏前4条公设紧密连接在一起的概念能对“第五公设”做出推演，拟将它从公设中去除而成为一个定理。尽管许多数学家在长达两千多年的推演工作中，使用了不同的方法对欧氏几何的逻辑体系进行完善，但所有努力都没能获得成功。

在现代综合几何中，由普勒菲尔的平行公理代替了欧几里得所设的“第五公设”。普勒菲尔的平行公理是这样描述的“过已知点的一条已知直线至多有一条平行线”。

图1 普勒菲尔的平行公理

非欧几何学

当俄国数学家罗巴切夫斯基（N l Lobachevsky）和匈牙利数学家波尔约（Bolyai Janos）尝试对“第五公设”进行证明时，借用普勒菲尔的平行公理得到了“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”的假设命题，且结合欧氏的前4条公设“线段、直线、圆、直角”及其它公理组形成新的公理系统，通过反证法展开逻辑推演，得到了一连串古怪的演绎命题。但经过仔细审查，却没有发现由归谬法所导出的命题与“第五公设”之间含有任何逻辑矛盾。直接反驳了“第五公设可证性”，也间接坐实了“第五公设不可证性”，与此同时，又因无矛盾的新几何体系之存在，使得“第五公设变得不可否定”。罗巴切夫斯基与波尔约从而证明了“第五公设”确实是一条“公设”，不能被证明或否定。由此，巴氏几何概念呈现在大家面前，包括高斯（J K F Gau&szlig）在内的三位数学家也为我们带来一个全新的数学分支——非欧几何学。

巴氏对非欧几何的创造性研究提出了双曲几何，后来黎曼（Riemann Sum）再通过“过直线外一点，没有直线与已知直线共面而不相交”的假设命题，又提出了椭圆几何——另一非欧几何学。

证明“第五公设”的惊奇点在哪儿？

证明“第五公设”的惊奇之处的疑问，正如楼主提问的鲜明观点“欧几里得的第五假设被证明不可能还原出更简单的定理（原始假设），这个证明的惊奇点在哪儿？”

非欧几何学的产生反映了空间形式的多样性，欧氏几何的空间曲率为零，罗氏几何的空间曲率为负数，黎曼几何的空间曲率为正数。但这三种几何各自所导出的命题均构成了严密的公理体系，也被公认都是正确的。然而，证明“第五公设”的惊奇就在于非欧几何学涉及到替代“第五公设”的普勒菲尔公理并不是真正的原始命题。

我国学者程平发表文章，用“一因一果”同“多因一果”的两种推理方法作比较，指出了欧氏“第五公设”不能被证明的原因为：不是任何数目的原始命题都能完成对“第五公设”的逻辑检验。与此同时，学者李春泰撰文也指出：欧几里得几何的可能世界有很多逻辑无法深入的地方。

图2 由欧几里得的公设I.1、I.2、I.3处理的三条直线

《几何原本》陈述：命题I.9一个角可以切分成两个相等的角，以及命题I.12经过直线外的一点可以向直线作垂线。如果，O是角平分线AC上一点，且A、B分别是角的两边上垂足（图2），那么，链接A、B形成L1、L2、L3三条相交的直线，可描述为“第五公设”中三条直线。

我们不难发现三角形ABP是等腰三角形，且等腰三角形的两个底角都是锐角。而这样的两个锐角之和小于两个直角，其满足“第五公设”。同时，通过欧几里得所设的公设I.3，由圆ABC的图形建立联系，使角的两边成为圆的两条相等切线，符合切线长定理。然而，等腰三角形的命题是欧几里得命名的“庞斯命题”，正是“驴桥”逻辑循环的首个命题。当它对任意三角形ABP做处理时（图2），则有些逻辑就无法深入。

图3 由欧几里得的公设I.1、I.2、椭圆公设处理的三条直线

有学者撰文《在欧几里得公理体系中添加椭圆公设》指出，可通过欧氏规定无刻度的度量方法，融合《几何原本》的前4条公设和5条公理，并且，考量与前4个公认命题进行无矛盾地合同，描摹给出了原始设定的椭圆公设来奠定椭圆图形。

倘若通过椭圆图形建立联系，设一条不过椭圆中心的椭圆弦，由尺规作图得到过该椭圆弦的两端的两条切线（图3），形成L1、L2、L3三条相交的直线，可描述为“第五公设”中三条直线。

我们就会发现三角形ABP是任意三角形，且任意三角形的底角α、角β是锐角或钝角，而这样一个锐角与一个钝角之和小于两个直角，其也满足“第五公设”。

原始设定的椭圆公设留下的思考

（1）椭圆公设为何没出现在《几何原本》之中？

（2）处于公元前300年那个古老年代，欧几里得的局限是什么？

（3）椭圆公设能否成为欧氏无刻度度量的基础元素吗？

（4）椭圆公设能否作为公理化推演的起点完成对“第五公设”的逻辑检验吗？

有不同见解，欢迎交流。