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数列的不动点与特征根的原理是什么？

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

数列的不动点与特征根的原理是什么？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

何为不动点?


方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点.利用递推数列f(x)不动点,可将某些递推关系an=f(an-1)所确定的等比数列或较易求数列通项的数列,这种方法称为不动点法（也称为特征根法).下面我们看两个简单的定理及证明,来说明它们的原理.

定理1

证明

定理2

证明


下面来几个例题来帮助大家理解

例1

例2

以上为两个比较简单的证明及例子,现在高考难度有所降低,考纲一般不涉及不动点法,对于学有余力的同学可以参考一下以上方法.我是学霸数学,欢迎关注!

回答于 2019-09-11 08:43:50

我只知道不动点是求数列通项公式的捷径。特征根也是一种求数列通项公式的办法…然而原理是什么？可能只是字面意思，特征两个字就是最好解释，不动这俩字也是最好解释！以不变应万变，抓住本质特征，自然无往不胜。

回答于 2019-09-11 08:43:50

很多人知道不动点 也知道怎么用不动点解题。但不动点出现的原因还不是很明白。主要是依赖一条定理：若连续函数f(x)在定义域上连续且值域是定义域的子集，则一定存在点x0使得f（x0）=x0。

证明：假设定义域D=(x1，x2), 函数f在定义域上连续且值域为D的子集。若f(x1)=x1或f(x2)=x2,则不动点已找到，否则有f(x1)>x1, f(x2)<x2。此时，令g(x)=f(x)-x, 则g(x1)=f(x1)-x1>0, g(x2)=f(x2)-x2<0。由于f(x)定义域上连续所以g(x)在相同定义域上连续，根据介值定理，一定存在x1<x0<x2，使得g(x0)=0,即f(x0)=x0。close。

因此，使用不动点方法的前题需要论证下递推关系的有界性。当然大部分题这个条件都是满足的。