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如何证明有理数的十进制表示是无限循环小数？

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

如何证明有理数的十进制表示是无限循环小数？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

假定有理數p/q，q不整除p

（1）p除以q得餘數r_0，基於十進制小數的表示方式，將r_0乘以10的倍數直至r_0*10^k > q，把r_0*10^k再除以q得餘數r_1，而其商則被記下

以r_1作r_0，重覆（1），假定q不整除任意r_n（其實整除也沒問題，衹是0除以q的餘數和商皆為0，在記數時會被忽略），就可以得到一無限小數


然而，由於r_n作為餘數必然小於q，r_n的值衹有（q-1）種可能性，r_q的值必然和某n<q的值重複。而（1）的做法衹取決於r_n的值，故r_q以後的值必然和r_n至r_q的值重複

以上事情在無限小數中不停重覆，所以有理數的小數表示必然為無限循環小數。