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简谐运动微分方程是怎么推导出来的？d²x／dt²＝-ω²x，怎么推出来的？

简谐运动,定律,角速度简谐运动微分方程是怎么推导出来的？d²x／dt²＝-ω²x，怎么推出来的？

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

简谐运动微分方程是怎么推导出来的？d²x／dt²＝-ω²x，怎么推出来的？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

谢谢邀请，直入正题。

01 简谐运动简介

维基百科的定义如下：

简谐运动，或称简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。




弹簧振子是被用来解释简谐运动使用最频繁的例子。

推导问题中的公式，只需要了解胡克定律，牛顿第二定理和简单的微积分知识即可。

胡克定律是力学基本定律之一。适用于一切固体材料的弹性定律，它指出：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。

胡克定律公式中 负号 代表力的方向永远与形变方向相反（貌似一目了然）。

将胡克定律和牛顿第二定律结合：

将 k/m = ω^2假设出来，即得到问题中的公式了。

ω的物理意义

对于想了解ω物理意义的朋友，记住这幅动图即可。

形变量 x 是符合三角函数规则的一个值。如果上述推导过程看不明白，不用太在意，记住结论就行：

弹性形变是一个与三角函数有关的值。

上面推导中 ω 字母的意义是角速度。如图3，B点运动的角速度。




03 总结

所以说描述一个简谐运动，最重要的几个参数：

频率 f，周期 T，角速度 ω，弹簧初始状态，振幅 A。

几个参数之间的关系：

T = 1/f

ω = 2πf

04 总结

简谐运动看着很难，但是如果做出动图来，看着也挺简单的。

图形永远比公式更加直观。

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回答于 2019-09-11 08:43:50

简谐运动特征及表式:1F=-kx（回复力）

2 d^2x/dt^2=-(k/m)x 取k/m=w^2 所以d^2x/dt^2=-（w^2）x d^2x/dt^2+（w^2）x=0 .

x''=-w^2x

r^2=-1,所以r=+-wi,通解 x=c1coswt+c2sinwt=Ccos(wt+fai),带入振幅A,C=A,得 x=Acos(wt+φ)