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长方形面积公式(古人是如何计算长方形田地的面积？)

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

1、九章算术 卷第一 方田——方田术

原文

[1]今有田广十五步，从十六步。问为田几何？

答曰：一亩。

[2]今有田广十二步，从十四步。问为田几何？

答曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

今译：

[1]已知一块长方形的田地宽15步，长16步。问这块田地的面积是多少？

解：长方形田地面积=15×16=240（平方步）=1亩

[2] 已知一块长方形的田地宽12步，长14步。问这块田地的面积是多少？

解：长方形田地面积=12×14=168（平方步）=168÷240=0.7亩

计算“方田”面积的方法：长方形的长（步数）乘以宽（步数），所得的积为长方形田地的面积。用所得的积除以240，得数即为田地的亩数。规定：100亩=1顷。

评议：

《九章算术》是我国算经之首，整书的结构直接影响了中国古代数学约二千年的发展。古往今来，众多数学家对她进行注释，其中最有影响力的当属东汉末年（魏）的刘徽。

现在我们继续深挖《九章算术》的数学价值、文化价值和教育价值，首先要排除“一题、一解、一术”的错误认识，切勿简单地认为《九章算术》只是习题集，要尽可能地站在当时人们看问题的角度，挖掘其背后的真正价值。

对于“方田术”，笔者谈谈我个人的感法：

1、感叹古人（至少在东汉时代，甚至先秦时期）已经知道长方形（正方形）的面积公式，而且规定了1亩田标准，真心佩服中国劳动人民的聪明才智。

“方田”指长方形、正方形的田，“广”为宽，“从”为长。“步”是古时计量长度和面积的单位，“亩”是古时计量面积的单位。

方田示意图

方田术就是古人测量方田面积的办法，即：方田的面积=长（步）×宽（步），得：积步。

实践出真知，古时由于缺乏大尺度的测量工具，古人最早用脚来丈量，这是何等的聪明！当然“步”的误差太大，如何来解决这个问题呢？秦汉六尺一步，唐代以后改为五尺一步。《九章算术》中的“步”均为：1步=6尺。

《九章算术》规定了1亩的面积（宽为15步，长为16步的长方形田地）。15×16=240（平方）步，相当于走完宽需要15步，然后再走16列（或者走完长需要16步，再走15行），共240步，这样的方田面积就是1亩。如此说来，方田的面积是用“步”来丈量的，所以“步”既是长度单位，也是面积单位也就水到渠成了。

1亩240步示意图

2、感叹古人已经会步、亩、顷之间的单位换算。

有了1亩的标准，就可以作比较。在实际测量“方田”时，各种数据都可能会出现？那么如何将面积的小单位“步”转换为大单位“亩”，又如何将大单位“亩”转换为小单位“步”？《九章算术》给出了换算方法：“步”换“亩”，除以240；“亩”换“步”，乘以240。这类单位换算现代的小学生都可以轻松搞定，但是在当时生产力及其有限的条件下，劳动人民在长期实践中总结归纳出如此重要的结论，是何其得不容易啊！

方田术中还规定了：100亩=1顷，为更大面积的计算提供了方便，也为亩与顷之间的单位换算提供了标准。这样就实现了步、亩、顷之间的单位换算，其逻辑推理很是严密。

3、疑惑

笔者一直有个疑惑，（1）古人是如何知道或推导出长方形、正方形面积公式的呢？（2）“尺”的长度，各朝代的标准又有差异，其中的演变又是怎样的呢？

参考文献

1、肖作政编译.《九章算术今解》.大连：辽宁人民出版社，1990

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。