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三角形的周长(高考数学：解三角形专题总结，三角形周长和面积最值问题)

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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

解三角形题目，一般来说难度并不大，但是三角形周长和面积的最值问题还是有一些难度的。


一般是填空题最后一个，或者是第一个大题第二问。

面积最值问题一般来说非常简单，周长最值问题还是有一些难度的。

面积问题：余弦定理 不等式！

2014全国一卷理

解析：式子处理还是比较简单的，正弦角化边，最后处理出来cosA=1/2 A=π/3。

三角形的面积公式S=bcsinA/2 所以要求面积最大值，也就是求bc的最大值。

这里一般还是利用余弦定理a²=b² c²-2bcXcosA 得到a²=b² c²-bc。

再根据基本不等式，可以得到bc 4≥2bc 所以bc≤4 所以面积最大值为√3。

周长问题：边化角，用三角函数来求。





第一问很简单，我们就不说了，第一问求出函数f（x）=（1/2）cos（2x π/3） 1/4

带入4f（A） 1=0很容易得到A=π/3。

很多学生看到这儿，想要求周长的话，周长l=a b c=√3 b c。

只需要求b c的取值范围即可，是不是也可以用余弦定理 基本不等式呢？

大家可以去试试这一个思路，非常不好算，而且不一定算出来。

一般来说，算周长取值范围，我们是通过正弦定理，把边相加变成三角函数式求取值范围。

比如，l=a b c=√3 2RsinB 2RsinC 我们知道a/sinA=2

所以l=√3 2sinB 2sinC

很显然，要想求l的取值范围，我们需要处理成只含一个三角函数符号的式子。

所以再根据三角形内角和等于180°，A=π/3 ，所以 C=2π/3－B

所以最后l=2√3sin（C π/6） √3

又因为三角形是锐角三角形，所以C的取值范围在 π/6＜C＜π/2。

所以 π/3＜C π/6＜2π/3 所以√3/2＜sin（C π/6）≤1

所以周长的取值范围是（3 √3,3√3]。

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大家可以做一下这一个练习题，也是求周长取值范围。

答案是（6,9]，做完之后可以对一下答案。

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本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。