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圆锥的表面积公式(老黄绞尽脑汁设计，小学数学思维拓展问题，求这个圆锥的最大面积)

圆锥,底面,侧面圆锥的表面积公式(老黄绞尽脑汁设计，小学数学思维拓展问题，求这个圆锥的最大面积)

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

今天老黄又绞尽脑汁设计了一道小学六年级的数学几何问题，以帮助孩子们拓展自己的数学思维能力。题目是这样的：

如下图，是一个圆柱体，将它展开并裁剪并围成一个表面积最大的圆锥体，若底面不变，问：圆锥的表面积最大是多少？（已知圆锥侧面积公式：S侧=πrl, 其中r是底面半径，l是侧面展开图的扇形半径，取π=3.14，结果保留两位小数）

分析：虽然小学阶段并没有涉及圆锥侧面积的公式，但题目中已经给出了公式，并进行了介绍。这类题目老黄称之为“即学即用型”的问题，小学出现的比较少，在中学阶段出现的很多，也是老黄教过的大多数学生最害怕的题型。这点老黄很不理解，因为在老黄读书的时候，感觉如果试卷全出这种题的话，张张都能考满分。但是就连老黄教过的最聪明的学生，也害怕这种题，因此老黄决定从小学开始就培养学生解决这种题目的能力。

解决这道题，首先要知道圆柱体的展开图是什么样子的。如下图，它是由两个底面圆和一个长方形构成的。而且长方形水平的边，等于底面的周长。

然后要知道圆锥展开图的形状。如下图，它是由一个底面（这里要求底面不变，仍为直径等于4的圆）和一个扇形构成的。而且扇形的弧长等于底面的周长。

接下来就是运用题目中所给的公式，求圆锥的表面积了。但是上图并不是圆锥表面积最大的情形。不过应该会有不少学生以这个圆锥的表面积为答案，那就错了。

虽然题目要求的是表面积的最大值，但底面是确定的，所以其实求的是侧面积的最大值。观察圆锥的侧面积公式，S侧=πrl, 其中πr在这里是一个定值，就是底面半圆的弧长，或者说是底面圆的周长的一半。因此l越大，侧面积就越大。即想要取侧面积最大的圆锥，就要保证圆锥侧面展开扇形的半径最大。因此，比较聪明的学生就会想到下图的这种情形。

那么上图是否就是侧面积最大的圆锥了呢？其实它还不是我们要求的圆锥的展开图。不过一般学生能考虑到这里，已经很不错了。

那么侧面积最大的圆锥到底是哪一个呢？看下图，就是把圆柱的侧面展开图向任意方向旋转90度，由于底面圆的周长比圆柱的高更大，因此，这时的圆锥侧面展开扇形的半径更大，得到的侧面积就更大，也是最大的情形。能够想到这里的学生，可以说是相当有天赋的了，数学思维能力在这个年龄段已经达到一定的高度了。

下面组织解题过程：(题目还没完，后面还有拓展)

圆锥底面积为：S底=πr^2=3.14X(4/2)^2=12.56;

当圆锥侧面展开图的半径为：l=C底=πd=12.56时，

圆锥侧面积为：S侧=πrl=3.14X2X12.56=17.8768,

圆锥最大的表面积为：S=S底 S侧=12.56 17.8768=30.4368≈30.44.

答：圆锥最大的表面积约为30.44.

这道题的单位被省略了，为了防止学生对单位的认识造成混乱，可以加上单位厘米和平方厘米。

这道题到这里其实还可以继续探究下去的。注意，我们题目中限定了“底面积不变”。然而其实如果底面积可变的话，还可以得到表面积更大的圆锥如下图：

注意图中的圆要比原来的底面圆面积更大，周长也会更长，致使侧面的面积也会更大。不过这样变化之后，小学生肯定是探究不出来答案的。就连高中生，恐怕也会相当有难度的。不信可以动手试试看。

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。