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完全平方式是什么意思 完全平方式是什么
差异,分母,分式完全平方式是什么意思 完全平方式是什么
发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：
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冯跃峰
就差异的表现形式而言，差异可分为元素差异、结构差异。
所谓元素差异，是指两个对象之间所含元素不同。元素差异有时候并不是很明显的，需要深入观察才能发现。解题者应有意地设计一些自我问句，诸如：“能否从某个特殊位置（分子、分母、指数、底数）发现差异？”，“各个对象中所含的字母、函数有什么不同？”等等。
我们先看一个简单的例子。
例1、计算：
+
+。
【分析与解】本题的目标是求三个分式的和。这种问题，关键是如何“通分”，我们需要发现各个分母的差异，然后逐步消除差异，使之变得相同。
三个分式的结构非常相似，因此，只要处理好其中一个分式，其它分式就可照此办理。那么，如何对其中一个分式进行处理呢？这可发掘各分母所含元素的差异。
第一个分式的分母中，有两项的指数分别为p-q、p-r。
将其与第二个分母所含指数比较，发现指数变成了q-r、q-p。
如何将其变得相同呢？这要抓住它们的主要差异：带正号的指数完全不同，要消除差异，必须将带正号的指数去掉。
如何去掉？这乘以即可。
由此想到，对第一个分式的分子分母都乘以乘以，则
=。
类似地，对第2、3两个分式的分子分母都乘以乘以、，则
=，
=。
三式相加，马上得到所求的值为1。
下面看一个高中课本上的三角恒等式问题。
例2、求证：=。
【分析与证明】先明确目标，要证明一个恒等式：
=。
再寻找条件，题中并没有提供额外的条件，所以能运用的条件是相关知识。但运用怎样的相关知识暂时不得而知，只能分割目标建立如下解题主线：
（起点）
——→（终点）。
下面发现差异，从外部差异看，两个状态存在元素差异：起点含正弦、余弦，终点含正切。消除差异自然有两种方案：一是将正弦、余弦转化为正切，这可遵循上述解题主线；二是将正切转化为正弦、余弦（切割化弦），这需改为下面的解题主线：
（起点）
——→（终点）。
先考虑第一种主线。要将将正弦、余弦转化为正切，利用“同角关系”即可，于是想到将起点的分子、分母同时除以cos²α，得
=。
但这样做的过程较繁。如果在起点中发掘内部差异，则过程变得流畅自然。
考察起点分式的分子分母的结构，发现分子为多项式形式，分母为齐二次式且可以分解因式。由此想到，分母能否也能分解因式？这样一想，便发现分子其实是一个熟悉的完全平方式结构：利用常数代换1=sin²α+cos²α，则分子变为(sinα+cosα) ²。
这样，解题就水到渠成。具体过程如下：
【新写】
=
=
=，证毕。
下面考虑采用第二种解题主线：
（起点）
——→（终点）。
此时，观察外部差异，发现两个状态所含函数不同，这直接将正切转化为正弦余弦即可：
=。
再观察当前状态与目标状态的差异，发现存在结构差异：当前状态的分子分母是关于sinα、cosα的一次式，而目标状态的分子分母是关于sinα、cosα的二次式。
要消除差异，直接对当前状态的分子分母配上一个因式sinα+cosα即可。具体解答过程恰好是上一解答过程的逆转。
我们再看一个三角不等式的例子。
例3、求证：4sin3α+5≥4cos2α+5sinα。
【分析与证明】本题的目标状态为一个不等式，注意到不等式两边都是多项式形式，可将目标改造为“标准形式”：
4sin3α+5-4cos2α-5sinα≥0。
再注意到题中没有给出额外的条件，只能分割目标状态建立如下解题主线：
4sin3α+5-4cos2α-5sinα（起点） ——→ 0（终点）。
下面先发掘起点的内部差异，显然含有两种元素差异。一是角度差异，三种不同的角度：3α、2α、α；二是函数差异，两种不同的函数：正弦函数、余弦函数。
我们可利用相关的知识如倍角公式，同角三角函数关系等来消除这些差异：角度都转化为“单角”，函数都转化为正弦。
于是，可在如下变形：
4sin3α+5-4cos2α-5sinα
=4（3sinα-4sin³α）
+5-4（1-2sin²α）-5sinα
=-16sin³α+8sin²α+7sinα+1。
至此，当前状态通过消除内部差异转化为单一的关于sinα的式子，瞄准目标，只需比较它与0的大小，最常见的方法是通过分解因式，判别每一个因式的符号。
如何分解因式？可从局部突破：考察最后两项7sinα+1，想象配一个二次项a sin²α，使
a sin²α+7sinα+1可以分解。
尽管中间项的系数7有多种分解：
7=1+6=2+5=3+4=8-1=…，
但要照顾到前后两组的的分解有公因式，发现只有7=8-1这种分解方式才能凑效。由此想到取a=8×（-1）即可。于是，可这样分解因式：
-16sin³α+8sin²α+7sinα+1
=-16sin³α+16sin²α-8sin²α+7sinα+1
=16sin²α（- sinα+1）
+（8sinα+1） （1-sinα）
=（1- sinα）（16sin²α+8sinα+1）
=（1- sinα）（4sinα+1）²。
当然，也可采用“试根法”，取sinα=1，则当前式子的值为0，从而含有因式1- sinα。
上式右边显然非负，从而不等式获证。具体解答如下：
【新写】因为4sin3α+5-4cos2α-5sinα
=4（3sinα-4sin³α）
+5-4（1-2sin²α）-5sinα
=-16sin³α+8sin²α+7sinα+1。
=-16sin³α+16sin²α-8sin²α+7sinα+1
=16sin²α（- sinα+1）
+（8sinα+1）（1-sinα）
=（1- sinα）（16sin²α+8sinα+1）
=（1- sinα）（4sinα++1）²≥0，
所以4sin3α+5≥4cos2α+5sinα，证毕。
从本例可以看出，消除问题系统中内部的元素差异，不仅可使问题得到简化，而且能将问题化归为某种熟悉的类型，使之顺利获解。
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本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。
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