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皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)

自然数,小伙伴,我的皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

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所以我们学的自然数，只是自然数的一个特例。这种说法听起来非常奇怪，但其实在数学上这种处理方法非常常见。它的核心就是所谓的等价关系(equivalent relation)和同构(isomorphism)。

4."实无限"和“潜无限”

到这里故事就结束了吗？不，远远没有。

敏锐的同学们估计已经想到了，既然每个成员都要拉一名新人进来，这样一来就没完没了了，微信群永远也灌不满，我们还能把这个微信群本身当成一个集合吗？这就涉及到了两个非常重要的概念："实无限"和“潜无限”。

"实无限"和“潜无限”是人们对于无限这个概念的两种观念。古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle)在历史上第一次对二者进行了区分。

简单来说，“潜无限”认为，无限是一个无穷无尽，永恒延续的过程，由于它永远无法完成，因此不能被当成一个整体来看待。而“实无限”与之相反，认为实现是一个完成了的实体，我们可以把它当成一个整体来看待。

这其实就触及了我们刚才的问题，一个包含了无限多个成员的微信群，究竟是不是一个单独存在的微信群。很显然，在皮亚诺公理中，我们实际上是把包含无限元素的集合当成一个整体来看待的，因此现代数学实际上是建立在“实无限”的观念之上的。关于这一点更深的讨论，可以参考我的另一篇文章：圆周率π是否存在——浅谈“实无限”与“潜无限”

接受了“实无限”的观念，也就可以接受自然数这个概念了。

当然这对整个数学大厦来讲，还仅仅只是个开始，我们定义完自然数，还要在此基础上定义整数，有理数，无理数，实数，复数等等一系列概念，这一过程也是无比艰辛的，凝聚了两千年来人类的智慧。但同时也反映出，数学是一个非常严谨的逻辑体系，任何想要学好数学的人，一丝一毫都马虎不得。

本文参加【科学V计划】，内容为作者原创。

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。

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