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求证：平面截球体后，截面边界曲线为圆。截圆柱体时为圆锥曲线？

方程,平面,圆柱体求证：平面截球体后，截面边界曲线为圆。截圆柱体时为圆锥曲线？

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：3

求证：平面截球体后，截面边界曲线为圆。截圆柱体时为圆锥曲线？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

设球面方程为X^2+Y^2+Z^2=a^2。平面方程为AX+BY+CZ+D=0，显然n=（A，B，C）为平面的法向量。对坐标基向量作变换，使平面与坐标的Y1O1Z1的平面平行与O1X1轴垂直。作正交阵V=（V1，V2，V2），其中V1=（A/K，B/K，C/K），V2=（-B/R，A/R，0）V3=（-AC/KR，-BC/KR，R^2/KR）（其中R^2=A^2+B^2，K^2=R^2+C^2）。以（X，Y，Z）=（X1，Y1，Z1）V^T代入球面方程后为X1^2+Y1^2+Z1^2=a^2【1】。代入平面方程有X1=-D/K【2】。将【2】代入【1】后，得Y1^2+Z1^2=a^2-D^2/K^2（D/K小于或等于a）。易知它是一个圆(含点圆）方程。

对于圆柱体，其侧面方程为X^2+Y^2=a^2，平面方程仍为AX+BY+CZ+D=0，以（X，Y，Z）=（X1，Y1，Z1）V^T代人两个方程，消去X1，对新方程依取值范围进行讨论，其边界曲线正是初等数学中的直线，圆，抛物线，椭圆，双曲线。