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已知1+x+x²+x³+x⁴=0求1+x+x²+…+x^2020的值？

方程,解法,分式已知1+x+x²+x³+x⁴=0求1+x+x²+…+x^2020的值？

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

已知1+x+x²+x³+x⁴=0求1+x+x²+…+x^2020的值？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

考虑等比数列：


1, x, x, x², x³, ..., xⁿ⁻¹, ...

部分和公式为：

Sn = (xⁿ - 1) / (x - 1)

已知：

S₅ = 1 + x + x² + x³ + x⁴ = 0 ①

于是，得到分式方程：

(x⁵ - 1) / (x - 1) = 0 ②

化为多项式方程：

x⁵ = 1

解该方程得到 ② 的增根：

1, e^{2πi/5}, e^{4πi/5}, e^{6πi/5}, e^{8πi/5}

其中 1 使得 分式方程 ② 的分母为 0，故舍弃，于是 ② 的解为：

e^{2πi/5}, e^{4πi/5}, e^{6πi/5}, e^{8πi/5}

这同时也是 ① 的解。

---

对于 和式 1 + x + x² + …+ x⁵ᵏ (k > 1) （题主的问题中 k = 404），在 ① 的条件下，根据题主的意思，因为分组方法不同：

1 + x + x² + …+ x⁵ᵏ = (1 + x + x² + x³ + x⁴) + x⁵(1 + x + x² + x³ + x⁴) + x¹⁰(1 + x + x² + x³ + x⁴) + ... + x⁵⁽ᵏ⁻¹⁾(1 + x + x² + x³ + x⁴) + x⁵ᵏ = x⁵ᵏ

1 + x + x² + …+ x⁵ᵏ = 1 + x(x + x² + x³ + x⁴) + x⁶(1 + x + x² + x³ + x⁴) + x¹¹(1 + x + x² + x³ + x⁴) + ... + x⁵⁽ᵏ⁻¹⁾⁺¹(1 + x + x² + x³ + x⁴) = 1

从而得出：

x⁵ᵏ = 1 ③

解得 ③ 的根为：

xᵣ = e^{2πri/5k}, r = 0, 1, 2, ..., 5k - 1

当 r = 0, k, 2k, 3k, 4k 时，③ 的 根为：

1, e^{2πi/5}, e^{4πi/5}, e^{6πi/5}, e^{8πi/5}

这和 ① 的增根 相同，进而 ③ 包括 ① 的解。

由于 ③ 是在 ① 的条件下推出的，于是 使得

1 + x + x² + …+ x⁵ᵏ = x⁵ᵏ = 1 ③'

成立，只能在 ① 的解 范围内，因此 ③' 的解为：

e^{2πi/5}, e^{4πi/5}, e^{6πi/5}, e^{8πi/5}

上面的分析说明：题主疑问的 x₀ = 1 根本不是 ③' 的解，也就是说，从 ③' （而非 ③） 不可能解出 x₀ = 1。

---

（以上为个人看法，数学水平有限不一定正确，仅供题主参考。）

回答于 2019-09-11 08:43:50

显然X是X^5=1的复数解，x^2020当然=1

回答于 2019-09-11 08:43:50

这是中学生的题目。不需要按照太复杂的思维去考虑。是一个小技巧了。至于使用复数来接，虽然没有错，但是太复杂了吧@欢喜数学课堂




回答于 2019-09-11 08:43:50

0

回答于 2019-09-11 08:43:50

最简单的方法：分组，每5项分成一组，第二组：x^5+x^6+x^7+X^8+X^9=x^5(

1+x+x²+x³+x⁴)=0,同理所有5项的分组和都是0，剩下最后一项：

x^2020。打字太累，还是上图吧。

回答于 2019-09-11 08:43:50

类似题目在百度上不少见，可我是“多维度思考”啊，本人有两种解法且答案是不同的，请各位大侠分析一下为什么？

解法一: 所求=1+x(1+x+x²+x³+x⁴)+…+x^2016(1+x+x²+x³+x⁴)=1

解法二: 所求=(1+x+x²+x³+x⁴)+x^5(1+x+x²+x³+x⁴)+…+x^2015(1+x+x²+x³+x⁴)+x^2020=x^2020

一与二只是分组方式不同，根据有限项加法结合律，其和理应相等也就是x^2020=1

推出x=1可它不符合已知条件。问题究竟出在哪里？

回答于 2019-09-11 08:43:50

从第2项开始，每五项一组，每组都有已知的公因式，故得数为0，加上第1项，得1。