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谁能透彻讲一下哥德尔不完备定理？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

谁能透彻讲一下哥德尔不完备定理？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

自洽系统必有一非。真与证非不患。如非如如。

回答于 2019-09-11 08:43:50

首先还是要说一些背景性的东西。数学工作是靠数学证明来完成的，每个证明总得有个出发点，不然证明就无法开始。因此，整个数学必然要有一些不证自明的出发点，由它们出发来构建整个数学大厦。这些出发点就是数学公理。但公理为什么是正确的呢？这时似乎就只能求助于我们的直观。那些直观上非常简单，甚至根本无法想象它不对的那些数学命题就能够作为公理，比如欧式几何的五条公理：任意两点能连成一条直线、所有直角都相等...等等。这些都是看起来很trivial甚至不值一提的命题，但正是因为这样，它们才足够作为公理——因为它们看起来不可能错。




但人们逐渐发现，靠直观的公理还是有可能会错。比如集合论的公理（见 LLLBK：据说罗素悖论有解，如何解？）会导致矛盾，欧式几何的第五公理虽然说不上错但完全可以被修改为非欧几何。直觉总是有可能不靠谱的，因此有些形式主义的数学家（如希尔伯特）希望把直觉完全排除出数学。这时，谁来保证公理为真？形式主义者会说，公理没有什么真假可言，也没有什么意义，它们仅仅是人为约定的符号组成的符号串而已，数学家所做的工作无非就是按照既定的推理规则从一个符号串推出另一个符号串。

这就像下象棋一样，每个棋子有自己的移动规则，车走直线，马会被拐马脚，炮需要支炮架才能攻击，这样的理解有助于我们记住每个棋子的移动规则。但即使不这样理解，也不影响一个人会下象棋。他不必把棋子“车”理解为战车，“马”理解为马，“炮”理解为炮，“帅”理解为军队的大帅，他也可以学会下象棋并且下的不错。数学家不必理解那些数学符号的“意义”，只需要知道该如何按照既定的推导规则推理下去就行了。这样一来，数学公理系统就变为了纯形式的符号系统。

上述的是哥德尔第一不完全性定理，实际上还有一个第二不完全性定理。这个第二定理是让希尔伯特非常头疼的定理。众所周知，希尔伯特提出了23个希尔伯特问题，其中第二个问题就是算术系统的一致性问题。一致性，即系统不会推出矛盾。矛盾能推出一切。事实上，上述定理的证明中隐含的使用了PM系统的一致性——如果PM系统不一致，那它就能推出一切公式，也包括G。因此，上述定理实际上证明的是，如果PM是一致的，那么存在G为真但它不可证。因此，如果PM系统能证明它自身的一致性，那么实际上就已经证明了G为真，而这就违反了上述第一不完全性定理——PM证不出G。因此可以得出结论：PM无法证明自身的一致性。







在哲学上，哥德尔认为他这个定理支持了数学的柏拉图主义——数学真理不依赖于人，是客观存在的。哥德尔定理的证明还影响了许许多多的方面，比如他这个定理的证明直接开启了递归论、模型论等等重要的逻辑学分支，并且直接启发图灵证明了停机定理。（哥德尔非常称赞图灵的工作，这是不多见的）

有些人认为，这个定理似乎表明人工智能是不可能超越人类的。因为再复杂的人工智能本质上还是一个计算机程序，而程序其实就是一个形式系统，哥德尔定理表明有些东西形式系统推不出，但人类能推出。但其实也未必如此，因为这个定理并未表明人的智慧不能被形式系统化。哥德尔本人也并没有认为他的这个定理支持了这样一个结论。